[论文解读] Neutrality and Many-Valued Logics

Andrew Schumann, Florentín Smarandache|ArXiv.org|Jul 21, 2007

advanced mathematical theories参考文献 123被引用 8

一句话总结

本文引入了非阿基米德和p进制赋值的多值逻辑作为建模逻辑中立性的框架，通过超实数和p进制整数扩展模糊逻辑。它使用t-范数和超序列构造了无限值系统的解析演算，并提出了一种在非阿基米德和p进制结构上具有真值度、不确定度和假值度的中性逻辑，推广了标准模糊逻辑和多值逻辑。

ABSTRACT

In this book, we consider various many-valued logics: standard, linear, hyperbolic, parabolic, non-Archimedean, p-adic, interval, neutrosophic, etc. We survey also results which show the tree different proof-theoretic frameworks for many-valued logics, e.g. frameworks of the following deductive calculi: Hilbert's style, sequent, and hypersequent. We present a general way that allows to construct systematically analytic calculi for a large family of non-Archimedean many-valued logics: hyperrational-valued, hyperreal-valued, and p-adic valued logics characterized by a special format of semantics with an appropriate rejection of Archimedes' axiom. These logics are built as different extensions of standard many-valued logics (namely, Lukasiewicz's, Goedel's, Product, and Post's logics). The informal sense of Archimedes' axiom is that anything can be measured by a ruler. Also logical multiple-validity without Archimedes' axiom consists in that the set of truth values is infinite and it is not well-founded and well-ordered. On the base of non-Archimedean valued logics, we construct non-Archimedean valued interval neutrosophic logic INL by which we can describe neutrality phenomena.

研究动机与目标

• 通过非阿基米德和p进制赋值的逻辑系统形式化逻辑中立性，扩展传统多值逻辑。
• 为基于Łukasiewicz、Gödel和乘积t-范数的无限值逻辑开发解析证明系统——希尔伯特式、序列演算和超序列演算。
• 将基本模糊逻辑BL推广至非阿基米德和p进制赋值扩展，实现新的真值功能推理形式。
• 在超实数和p进制整数上引入具有真值度、不确定度和假值度的区间中性逻辑框架，以捕捉中立现象。
• 建立非阿基米德结构、p进分析与中性逻辑之间的正式联系，作为推理中中立性的统一框架。

提出的方法

• 使用超实数和超整数构建非阿基米德赋值逻辑，拒绝阿基米德公理，以允许无穷小量和无限大的数。
• 基于t-范数语义在单位区间[0,1]上扩展超数，定义无限值的Łukasiewicz、Gödel和乘积逻辑。
• 利用ℚ_p上的p进范数|·|_p定义p进赋值逻辑，真值取值于p进整数环ℤ_p，形成离散的无限值系统。
• 为无限值逻辑开发超序列演算，将Gentzen风格序列推广以支持解析证明系统。
• 引入基本模糊逻辑BL的非阿基米德和p进赋值扩展，使用剩余格和非阿基米德结构。
• 提出一种中性逻辑框架，具有三值真值度(t, i, f)，其中每个分量取值于超实数或ℤ_p，实现中立性建模。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过非阿基米德和p进赋值真值结构正式捕捉逻辑中立性？
• RQ2 当扩展至非阿基米德和p进域时，基于Łukasiewicz、Gödel和乘积t-范数的无限值逻辑的证明论性质是什么？
• RQ3 基本模糊逻辑BL能否系统性地扩展至非阿基米德和p进赋值系统，同时保持可靠性和完备性？
• RQ4 p进赋值逻辑在语义和证明论结构上与标准模糊逻辑有何不同？
• RQ5 在超实数和p进整数上的区间中性逻辑如何推广标准模糊逻辑和中性逻辑，以建模不确定性和中立性？

主要发现

• 使用超实数和超整数构建非阿基米德赋值逻辑，允许真值包含无穷小量和无限大数，拒绝阿基米德公理。
• p进赋值逻辑定义在p进整数环ℤ_p上，形成具有非阿基米德三角不等式的离散无限值系统。
• 为无限值Łukasiewicz、Gödel和乘积逻辑开发了超序列演算，提供具有消去切割和完备性的解析证明系统。
• 引入了基本模糊逻辑BL的非阿基米德和p进赋值扩展，具有相应的矩阵逻辑和代数结构（如非阿基米德域上的BL-代数）。
• 构建了一种非阿基米德赋值的区间中性逻辑（INL），其中真值度、不确定度和假值度取值于超实数或ℤ_p，实现中立性建模。
• 本文证明中性逻辑统一了非阿基米德和p进赋值逻辑，为中立性和不确定性推理提供了一个统一框架。