[论文解读] New characterization and parametrization of LCD Codes

Carlet, Claude, Sihem Mesnager+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出了一种线性互补对偶（LCD）码的新正交基表征方法，解决了关于二元LCD码最小距离的一个猜想。研究分析了正交群在LCD码上的作用，推导出轨道大小的闭式公式，并表明几乎所有二元LCD码都是奇类型的，且其对偶也是奇类型的；而大约一半的$q$-元LCD码（$q$为奇素数幂）具有标准正交基。

ABSTRACT

Linear complementary dual (LCD) cyclic codes were referred historically to as reversible cyclic codes, which had applications in data storage. Due to a newly discovered application in cryptography, there has been renewed interest in LCD codes. In particular, it has been shown that binary LCD codes play an important role in implementations against side-channel attacks and fault injection attacks. In this paper, we first present a new characterization of binary LCD codes in terms of their symplectic basis. Using such a characterization,we solve a conjecture proposed by Galvez et al. on the minimum distance of binary LCD codes. Next, we consider the action of the orthogonal group on the set of all LCD codes, determine all possible orbits of this action, derive simple closed formulas of the size of the orbits, and present some asymptotic results of the size of the corresponding orbits. Our results show that almost all binary LCD codes are odd-like codes with odd-like duals, and about half of q-ary LCD codes have orthonormal basis, where q is a power of an odd prime.

研究动机与目标

• 通过正交基提供LCD码的新表征，以实现更深层次的结构分析。
• 解决Galvez等人关于二元LCD码最小距离的猜想。
• 研究正交群在所有LCD码集合上的作用，并对其轨道进行分类。
• 推导这些轨道大小的闭式公式，并分析其渐近行为。
• 确定具有标准正交基的$q$-元LCD码的比例，特别是针对奇素数幂的情形。

提出的方法

• 通过$\mathbb{F}_2$上对称矩阵的结构，引入基于正交基的二元LCD码新表征，将其与对称矩阵联系起来。
• 使用等价关系$M \sim QMQ^T$对称矩阵进行分类，并将其与LCD码生成元联系起来。
• 分析正交群$\mathbb{O}_n(q)$在所有LCD码集合上的作用，通过双陪集$\mathrm{St}({\mathcal{C}}_\pm)\backslash\mathbb{O}_n(q)/\mathbb{P}_n$识别轨道。
• 利用群阶公式和高斯二项式系数，推导轨道大小$|\mathrm{LCD}_\pm[n,k]_q|$的闭式表达式。
• 应用渐近分析，证明当$k, n-k \to \infty$时，$|\mathrm{LCD}_+|$与$|\mathrm{LCD}|$的比值趋近于$1/2$，在特定条件下成立。
• 利用正交群及其稳定子的结构，计算轨道大小并证明主要渐近结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 二元LCD码的最小距离是多少？它是否满足Galvez等人提出的猜想？
• RQ2 正交群如何作用于所有LCD码的集合上？该作用的可能轨道是什么？
• RQ3 对于奇数$q$，$\mathbb{F}_q$上$[n,k]$LCD码的非等价数量是否存在闭式公式？
• RQ4 $q$-元LCD码（$q$为奇素数幂）中，有多少比例具有标准正交基？其渐近行为如何？
• RQ5 当$n,k \to \infty$时，LCD码在奇类型与偶类型之间的渐近分布如何？

主要发现

• 通过新的正交基表征，解决了Galvez等人关于二元LCD码最小距离的猜想。
• 所有正交群作用于二元LCD码的轨道均被分类，且推导出轨道大小的闭式公式。
• 当$k, n-k \to \infty$时，$|\mathrm{LCD}_+|$与$|\mathrm{LCD}|$的渐近比值趋近于$1/2$，表明几乎所有二元LCD码都是奇类型的，且其对偶也是奇类型的。
• 当$q$为奇素数幂时，大约一半的$q$-元LCD码具有标准正交基，这由渐近极限$\lim_{k,n-k\to\infty} \frac{|\mathrm{LCD}_+|}{|\mathrm{LCD}|} = \frac{1}{2}$得到证实。
• 集合$\mathrm{LCD}[n,k]_q$的大小渐近为$\frac{1}{\prod_{i=1}^\infty (1 + q^{-i})}$倍的$\mathbb{F}_q^n$中$k$维子空间的数量，表明LCD码具有显著的密度。
• 轨道大小$|\mathrm{LCD}_\pm[n,k]_q|$的公式以高斯二项式系数和群阶显式给出，其表达式根据$n$与$k$的奇偶性而有所不同。