[论文解读] Complementary Dual Algebraic Geometry Codes

Sihem Mesnager, Chunming Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于代数几何的线性互补对偶（LCD）码的新构造方法，具体来源于椭圆曲线、双椭圆曲线和赫尔米特曲线。研究建立了这些码为MDS或几乎MDS的条件，并发现多个无限族满足Griesmer界，因此为最优码，是抵抗侧信道攻击（SCA）的强候选者。

ABSTRACT

Linear complementary dual (LCD) codes is a class of linear codes introduced by Massey in 1964. LCD codes have been extensively studied in literature recently. In addition to their applications in data storage, communications systems, and consumer electronics, LCD codes have been employed in cryptography. More specifically, it has been shown that LCD codes can also help improve the security of the information processed by sensitive devices, especially against so-called side-channel attacks (SCA) and fault non-invasive attacks. In this paper, we are interested in the construction of particular algebraic geometry (AG) LCD codes which could be good candidates to be resistant against SCA. We firstly provide a construction scheme for obtaining LCD codes from elliptic curves. Then, some explicit LCD codes from elliptic curve are presented. MDS codes are of the most importance in coding theory due to their theoretical significance and practical interests. In this paper, all the constructed LCD codes from elliptic curves are MDS or almost MDS. Some infinite classes of LCD codes from elliptic curves are optimal due to the Griesmer bound. Finally, we introduce a construction mechanism for obtaining LCD codes from any algebraic curve and derive some explicit LCD codes from hyperelliptic curves and Hermitian curves.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的方法，从代数曲线构造LCD码，以增强对侧信道攻击（SCA）的抵抗能力。
• 识别并表征来自椭圆曲线的LCD码，使其为MDS或几乎MDS，确保较高的最小距离。
• 将构造方法推广至一般代数曲线，包括双椭圆曲线和赫尔米特曲线，并推导出显式的LCD码参数。
• 证明某些构造的码满足Griesmer界，从而确立其最优性。
• 提供理论和计算证据，证明存在来自代数几何的无限多组最优LCD码。

提出的方法

• 提出一种基于非特殊除子和有理点上求值映射的椭圆曲线LCD码的一般构造方案。
• 应用对偶性条件：若 $\mathrm{g.c.d}(G,H) = 0$，则码 $\mathcal{C}(D,G)$ 为LCD，其中 $H$ 是满足 $G + H \sim K + D$ 的对偶除子。
• 利用典范除子 $K$ 和微分形式 $\omega$，通过留数条件定义对偶码。
• 应用Riemann-Roch定理分析 $\mathcal{L}(G)$ 和 $\mathcal{L}(H)$ 的维数，确保 $\mathcal{C}(D,G) \cap \mathcal{C}(D,H)^\perp = \{0\}$。
• 通过使用分支度和有理函数定义 $G$ 和 $H$，将该方法推广至双椭圆曲线和赫尔米特曲线。
• 使用MAGMA验证具体实例中的码参数和LCD性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，来自椭圆曲线的代数几何码可同时为LCD码和MDS码？
• RQ2 来自代数曲线的LCD码的无限族能否达到Griesmer界，从而表明其最优性？
• RQ3 如何系统地从非有理代数曲线（如双椭圆曲线和赫尔米特曲线）构造LCD性质？
• RQ4 非特殊除子在确保AG码中LCD性质方面起什么作用？
• RQ5 所构造的LCD码能否通过参数分析进行实际验证，并证明其对侧信道攻击（SCA）具有抵抗能力？

主要发现

• 本文中从椭圆曲线构造的所有LCD码均为MDS或几乎MDS，表明其最小距离相对于长度和维数较高。
• 多个来自椭圆曲线的LCD码的无限族满足Griesmer界，证明了其在给定长度和维数下最小距离的最优性。
• 在 $\mathbb{F}_{64}$ 上，从一个亏格为4的双椭圆曲线构造出一个显式LCD码，参数为 $[126, 30]$，其对偶码为 $[126, 96]$，经MAGMA验证。
• 在 $\mathbb{F}_9$ 上，从一个亏格为3的赫尔米特曲线构造出一个LCD码，参数为 $[27, 12]$，且 $8\mathcal{O} - 2P$ 为非特殊除子，确认了LCD条件。
• 该构造机制可推广至任意代数曲线，定理V.1和定理V.2提供了基于除子最大公因数和留数条件构造LCD码的充分条件。
• 理论与计算结果共同表明，所构造的码不仅为LCD码，而且是最优或近似最优，支持其在SCA抗性密码学中的应用。