[论文解读] New crisis in geometry?

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Mar 14, 2005

Relativity and Gravitational Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文认为，当代微分几何正面临危机，原因在于不恰当地否定了非黎曼几何，尤其是T-几何，后者允许构建确定性的时空几何，其中自由粒子运动本质上是随机的且依赖于质量。通过仅使用世界函数对欧氏几何施加形变原理，作者构建了一个非黎曼框架，该框架重现了类似量子的行为，并为超越黎曼极限的物理几何提供了基础。

ABSTRACT

The first crisis in the geometry arose in the beginning of XIXth century, when the mathematicians rejected the non-Euclidean geometry as a possible geometry of the real world. Now we observe unreasonable rejection of the non-Riemannian geometry by the official representatives of the contemporary geometry. Class of the Riemannian geometries appears to be too narrow for physical applications. The microcosm physics needs expansion of the class of possible geometries appropriate for the role of space-time geometry. In the framework of the non-Riemannian geometry one can construct the space-time geometry, where the motion of free particles is primordially stochastic, and this stochasticity depends on the particle mass. At the same time the geometry in itself is not stochastic in the sense that the space-time intervals are deterministic. Principles of quantum mechanics can be deduced from such a space-time geometry. The crisis situation in geometry appears to be connected with some preconceptions concerning the foundation of the geometry. The preconceptions as well as the crisis generated by them are not purely scientific phenomena. The human factor (social aspect) is rather strong in the crisis phenomena. The preconceptions and the human factor appear to be so strong, that usual logical arguments are not perceived, and the usual formal mathematical language appears to be inappropriate for perception of an analysis of the crisis origin and of a possibility of its overcoming. In the paper the history and motives of the non-Riemannian geometry construction are presented. There is a hope that such a less formal way of presentation helps to understand and to overcome the existing preconceptions.

研究动机与目标

• 挑战现代数学物理中对非黎曼几何的普遍排斥。
• 证明基于世界函数与形变原理的T-几何可为时空几何提供可行基础。
• 表明量子力学原理可从确定性的、非黎曼的几何框架中推导而出。
• 解决因根深蒂固的先验观念和对基础创新的抵制而引发的几何学社会与科学危机。
• 倡导牛顿的评价标准，拒绝通过声望与传统抗拒范式转变的托勒密标准。

提出的方法

• 通过修改定义所有几何关系的世界函数，将形变原理应用于欧氏几何，而不依赖坐标系或拓扑曲线。
• 仅从世界函数重构几何对象，如曲线、平行性与曲率，避免强制传递平行性的拓扑定义。
• 使用Gram行列式条件（F_n(𝑃ⁿ) ≠ 0）在任意σ-空间中定义非退化的几何结构，推广了维度的概念。
• 该方法无需微分结构或仿射联络，仅依赖于内在度量关系。
• 该方法可构建自由粒子运动为随机且依赖质量的几何，尽管其底层几何是确定性的。
• 通过证明该框架能够重现黎曼几何中远距离点间传递平行性不相容的已知局限，对框架进行了验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何尽管具有物理相关性，非黎曼几何仍被数学界系统性地排斥？
• RQ2 能否构建一个确定性的时空几何，使其产生本质上依赖于质量的随机粒子轨迹？
• RQ3 是否可能在不依赖曲线的拓扑定义或仿射联络的前提下，构建一种物理几何？
• RQ4 将形变原理应用于世界函数如何生成非黎曼的新几何？
• RQ5 先验观念与社会动态在阻碍基础几何学科学进步中起何种作用？

主要发现

• 本文表明，基于世界函数与形变原理的非黎曼几何可产生确定性的时空模型，其中自由粒子运动本质上是随机的且依赖于质量。
• 形变原理可构建出无法通过传统黎曼或拓扑方法获得的几何，特别是那些在远距离点间违反传递平行性的几何。
• 使用Gram行列式条件（F_n(𝑃ⁿ) ≠ 0）可确保任意σ-空间中几何结构的非退化性，从而实现超越黎曼极限的维度推广。
• 该框架表明，类似量子的行为（如质量依赖的随机性）可从完全确定性的几何基础中自然涌现。
• 作者指出，几何学中存在一种系统性危机，其根源不仅在于科学错误，还在于根深蒂固的社会与制度性阻力，阻碍范式转变。
• 本文结论认为，应以牛顿的评价标准（依据理论的解释力与一致性）取代托勒密标准（通过声望与传统抗拒变革）。”