[论文解读] New examples on spaces of negative sectional curvature satisfying Ma-Trudinger-Wang conditions

Paul W. Y. Lee, Jiayong Li|ArXiv.org|Nov 20, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文建立了函数 $ l $ 的可计算条件，使得代价函数 $ c = l \circ d $（其中 $ d $ 是常截面曲率为 $-1$ 或 $1$ 的流形上的黎曼距离）满足 Ma-Trudinger-Wang（MTW）条件。文章提供了显式的新例子——如 $ -\cosh \circ d $ 和 $ -\log(1 + \cosh) \circ d $——这些例子在双曲空间上满足强 MTW 条件，显著扩展了已知的最优传输正则性理论适用的流形类别。

ABSTRACT

In this paper, we study the Ma-Trudinger-Wang (MTW) conditions for cost functions $c$ which are of the form $c=l\circ d$, where $d$ is a Riemannian distance function with constant sectional curvature. In this case, the MTW conditions are equivalent to some computable conditions on the function $l$. As a corollary, we give some new costs on Riemannian manifolds of constant negative curvature for which the MTW conditions are satisfied.

研究动机与目标

• 确定函数 $ l $ 的可计算条件，使得代价函数 $ c = l \circ d $ 在常负曲率流形上满足 Ma-Trudinger-Wang（MTW）条件。
• 扩展已知的黎曼流形类别，使 MTW 条件成立，特别是在最优传输正则性理论的背景下。
• 在双曲空间（$K = -1$）和球面（$K = 1$）上，提供满足强与弱 MTW 条件的显式、可解析处理的代价函数例子。
• 分析欧氏二次代价的扰动，并建立在有界区域上满足强 MTW 条件的条件。

提出的方法

• 推导函数 $ l $ 的必要与充分条件，使得 $ c = l \circ d $ 满足 MTW 条件，利用底层流形的常曲率结构。
• 利用 MTW 条件可简化为涉及 $ l $、其导数及曲率的可计算不等式，从而实现显式验证。
• 应用代价指数映射构造，将 $ c $ 的导数与 $ l' $ 的逆联系起来，确保扭转条件（A1）成立。
• 利用指数映射和测地线在切点区域外的唯一性，定义 $ c $-指数映射并验证其光滑性（A2）。
• 对欧氏代价 $ z^2/2 $ 进行扰动分析，引入四次项修正 $ -\varepsilon z^4 $，并通过 $ \varepsilon $ 的泰勒展开分析所得 MTW 条件。
• 使用微分几何工具，包括 Hessian 和曲率张量，将 MTW 条件约化为关于 $ l $ 及其导数的点态不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数 $ l $ 需满足何种条件，才能使代价函数 $ c = l \circ d $ 在常截面曲率流形上满足 Ma-Trudinger-Wang 条件？
• RQ2 能否在双曲空间（$K = -1$）上构造显式、非平凡的、满足强 MTW 条件的代价函数例子？
• RQ3 对二次代价 $ z^2/2 $ 的扰动如何影响其在有界区域上强 MTW 条件的有效性？
• RQ4 $ l' $ 的逆在定义 $ c $-指数映射及确保扭转条件（A1）中起什么作用？
• RQ5 能否验证涉及 $ \cosh $、$ \log(1 + \cosh) $ 或 $ \log(1 + \cos) $ 的代价函数在双曲或球面空间上满足 MTW 条件？

主要发现

• 在曲率为 $-1$ 的双曲空间上，代价函数 $ -\cosh \circ d $ 满足强 MTW 条件。
• 在曲率为 $-1$ 的双曲空间上，代价函数 $ -\log(1 + \cosh) \circ d $ 同样满足强 MTW 条件。
• 在双曲空间上，代价函数 $ \pm \log(\cosh) \circ d $ 满足弱 MTW 条件。
• 在曲率为 $1$ 的球面上，代价函数 $ -\log(1 + \cos) \circ d $ 满足强 MTW 条件。
• 对于足够小的 $ \varepsilon > 0 $，扰动代价 $ l_\varepsilon(z) = z^2/2 - \varepsilon z^4 $ 在集合 $ \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2n} : |x-y| \leq b \} $ 上满足强 MTW 条件，其中 $ b > 0 $ 为任意固定常数。
• MTW 条件可约化为涉及 $ l $、$ l' $ 和 $ l'' $ 的可计算不等式，从而可在常曲率对称空间上实现显式验证。