[论文解读] On strict convexity and $C^1$ regularity of potential functions in optimal transportation

Neil S. Trudnger, Xu‐Jia Wang|ArXiv.org|Feb 27, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用 13

一句话总结

本文在成本函数满足(A3)条件、密度有界且目标区域具有$c$-凸性的前提下，建立了最优传输中势函数的严格强凸性与$C^1$正则性。通过直接的几何与分析论证，证明了对偶势函数严格$c$-凹，且势函数连续可微，弥补了早期工作中存在的漏洞，并通过逼近方法将结果推广至较低正则性的数据。

ABSTRACT

This note concerns the relationship between conditions on cost functions and domains and the convexity properties of potentials in optimal transportation and the continuity of the associated optimal mappings. In particular, we prove that if the cost function satisfies the condition (A3), introduced in our previous work with Xinan Ma, the densities and their reciprocals are bounded and the target domain is convex with respect to the cost function, then the potential is continuously differentiable and its dual potential strictly concave with respect to the cost function. Our result extends, by different and more direct proof, similar results of Loeper proved by approximation from our earlier work on global regularity.

研究动机与目标

• 在弱于以往工作的条件下，建立最优传输中势函数的$C^1$正则性与严格凸性。
• 提供一种避免使用早期结果中逼近技术的$C^1$正则性直接证明。
• 通过建立势函数的完整$c$-凹性，弥补[MTW]中用于内部正则性比较论证的漏洞。
• 证明在(A1)–(A3)条件下，当$f,g > 0$时，势函数$u$为完全$c$-凹，从而确保全局$c$-支撑的存在。

提出的方法

• 基于目标区域$\Omega^*$的$c$-凸性与(A3)条件，通过分析势函数与其$c$-支撑的接触集，采用几何论证方法。
• 在球体边界附近构造一个严格小于$v$的扰动函数$\overline{v}$，并应用$ v $与$ \overline{v} $之间的比较原理。
• 利用$c$-凸性的分析表述与(A3)中的严格不等式，若$ v $非严格$c$-凹，则导出矛盾。
• 利用$ v $为半凹且满足对偶下确界表示的事实，控制次微分的行为。
• 依赖于当$f,g > 0$时势函数的唯一性（至多相差常数），通过逼近方法将结果从有界密度推广至一般正可积密度。
• 应用$c$-支撑函数$h_t(x) = (1-t)c(x,y_0) + t c(x,y_1) - a_t$分析中间$c$-支撑的行为，推导出严格凹性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在成本函数与密度满足何种条件时，最优传输中的势函数可实现$C^1$正则性？
• RQ2 在(A3)条件与有界密度下，能否不借助逼近方法直接建立对偶势函数的严格$c$-凹性？
• RQ3 若(A3)不成立，是否会导致势函数的$C^1$正则性或完全$c$-凹性丧失？
• RQ4 能否通过势函数的$C^1$正则性来合理化[MTW]中关于内部正则性的比较论证？
• RQ5 当$u$为$C^1$且(A3)成立时，势函数与其$c$-支撑的接触集是否连通？

主要发现

• 当成本函数满足(A1)–(A3)、$\Omega^*$为$c$-凸，且$f,g$远离零时，对偶势函数$v$为严格$c$-凹。
• 在相同条件下，势函数$u$为$C^1$光滑，意味着最优传输映射$T$连续。
• 通过逼近方法，该结果可推广至一般正可积密度$f,g$，并保持$C^1$正则性与严格$c$-凹性。
• 当$f,g > 0$时，势函数$u$为完全$c$-凹，确保每个局部$c$-支撑均为全局$c$-支撑。
• 该证明提供了一种洛珀（Loeper）基于逼近方法的直接替代方案，并解决了[MTW]中比较论证的漏洞。
• 在二维情形下，由$C^1$正则性与$c$-支撑的结构可直接推出$u$在$\mathbb{R}^2$上的完全$c$-凹性。