[论文解读] New general integral inequalities for some GA-convex and quasi-geometrically convex functions via fractional integrals

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一类新的黎曼-刘维尔分数阶积分恒等式，并为GA-s-凸、拟几何凸及(s,m)-GA-凸函数建立了广义积分不等式。通过利用该恒等式及分数阶微积分的性质，作者推导出Hermite-Hadamard、Ostrowski及Simpson型不等式的新型界，将经典结果推广至更广泛的凸函数类，借助分数阶积分实现扩展。

ABSTRACT

In this paper, the author introduces the concept of the quasi-geometrically convex and defines a new identity for fractional integrals. By using of this identity, author obtains new estimates on generalization of Hadamard, Ostrowski and Simpson type inequalities for GA-s-convex, quasi-geometrically convex and (s,m)-GA-convex functions via Riemann Liouville fractional integral.

研究动机与目标

• 提出一种涉及对数与指数变换的分数阶积分新恒等式。
• 将经典的Hermite-Hadamard、Ostrowski与Simpson不等式推广至具有GA-凸性与拟几何凸性性质的函数。
• 利用黎曼-刘维尔分数阶积分，将这些不等式推广至满足(s,m)-GA-凸性的函数。
• 在导数满足p-范数假设下，提供积分近似值的精确误差界。
• 统一并扩展现有分数阶积分不等式在特殊凸函数类中的结果。

提出的方法

• 定义一个涉及对数幂与$ f \circ \exp $的分数阶积分的新函数表达式$ I_f(x, λ, α, a, b) $。
• 利用黎曼-刘维尔分数阶积分算子$ J_{a^+}^\alpha $与$ J_{b^-}^\alpha $，结合对数变换。
• 应用幂平均不等式与Hölder不等式，以界定积分均值与函数值之间的差异。
• 引入拟几何凸函数与(s,m)-GA-凸函数的概念，作为标准凸性的推广。
• 利用新恒等式及对导数$ |f'(x)|^q \leq M $或$ |f'(x)|^q \leq C $在$ x \in [a,b] $上的假设，推导不等式。
• 通过$ u = \exp(t) $变换将原始不等式转化为对数域，从而可应用分数阶微积分技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分数阶积分将Hermite-Hadamard型不等式推广至GA-s-凸函数？
• RQ2 当函数的导数在$ L^q $-范数下有界时，Ostrowski型不等式的最优界是什么？
• RQ3 Simpson型不等式如何通过分数阶积分推广至拟几何凸函数与(s,m)-GA-凸函数？
• RQ4 参数$ \lambda \in [0,1] $在平衡加权均值与分数阶积分近似中起什么作用？
• RQ5 能否为具有对数与幂权重凸性的函数的分数阶积分近似推导出精确的误差估计？

主要发现

• 建立了一类新的分数阶积分恒等式，使得能够推导出GA-s-凸与拟几何凸函数的广义不等式。
• 对于GA-凸函数与$ \alpha > 0 $，不等式$ f(\sqrt{ab}) \leq \frac{\Gamma(\alpha+1)}{2(\ln \frac{b}{a})^\alpha} \left[ J_{(\ln a)^+}^\alpha (f \circ \exp)(\ln b) + J_{(\ln b)^-}^\alpha (f \circ \exp)(\ln a) \right] \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} $成立。
• 当$ \lambda = \frac{1}{3} $时，Simpson型误差界为$ \leq \frac{m \ln \frac{b}{a}}{4} A_1^{1-1/q}(\alpha, \frac{1}{3}) \left( \cdots \right) $，其显式依赖于$ C_i $系数。
• 当$ \lambda = 0 $时，Ostrowski型界变为$ \leq \frac{mM}{(\alpha+1)^{1-1/q}} \left[ a^m (\ln \frac{x}{a})^{\alpha+1} (C_1 + m C_2)^{1/q} + b^m (\ln \frac{b}{x})^{\alpha+1} (C_3 + m C_4)^{1/q} \right] $。
• 当$ \lambda = 1 $时，界为$ \leq \frac{m \ln \frac{b}{a}}{4} \left( \frac{\alpha}{\alpha+1} \right)^{1-1/q} \left( \cdots \right) $，表明在$ \alpha $较大时收敛性更优。
• 结果推广了经典不等式，并在导数满足$ L^q $-可积性条件下，将它们扩展至分数阶设置，且具有更高的精确度。