[论文解读] Hermite-Hadamard type inequalities for s-convex and s-concave functions via fractional integrals

M. Emіn Özdemіr, Merve Avcı+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2012

Mathematical Inequalities and Applications被引用 23

一句话总结

本文通过使用黎曼-刘维尔分数阶积分，建立了关于 s-凸函数和 s-凹函数的新 Hermite-Hadamard 型不等式。通过推导一个新颖的分数阶积分恒等式，并应用 Hölder 不等式与幂平均不等式，作者获得了涉及 Gamma 函数和 Beta 函数的精确界，从而推广了关于 s-凸函数的经典与分数阶积分不等式的结果。

ABSTRACT

New identity for fractional integrals have been defined. By using of this identity, some new Hermite-Hadamard type inequalities for Riemann-Liouville fractional integral have been developed. Our results have some relationships with the result of Avci et al., proved in AKO.

研究动机与目标

• 将经典的 Hermite-Hadamard 不等式推广至使用分数阶微积分的 s-凸函数与 s-凹函数设定。
• 为具有 s-凸或 s-凹导数的可微函数，发展新的分数阶积分恒等式，以推广现有结果。
• 通过应用 Hölder 不等式与幂平均不等式，推导分数阶积分偏差的精确界。
• 在 s-凸性与分数阶积分的背景下，统一并推广 Avci 等人与 Kavurmaci 等人的先前成果。

提出的方法

• 推导一个涉及阶数 α > 0 的黎曼-刘维尔积分的新分数阶积分恒等式，通过加权积分将函数的平均值与导数联系起来。
• 应用共轭指数 p 与 q（满足 1/p + 1/q = 1）的 Hölder 不等式，以控制导数项的 L1-范数。
• 利用 |f′|q 的 s-凸性与 s-凹性，对包含 t^s 与 (1−t)^s 权重的 [0,1] 区间上的积分进行上界控制。
• 通过 Beta 函数与 Gamma 函数计算关键积分，特别是 ∫₀¹ (1−t^α)^p dt 与 ∫₀¹ (1−t^α) t^s dt。
• 应用幂平均不等式，以控制凸组合中导数的 Lq-范数。
• 以 |f′(x)|、|f′(a)|、|f′(b)| 以及参数 α、s、p、q 表示界限，其中显式常数涉及 Γ 函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过分数阶黎曼-刘维尔积分，将 Hermite-Hadamard 型不等式推广至 s-凸函数与 s-凹函数？
• RQ2 分数阶积分偏离函数平均值的上界中，常数的精确性如何？
• RQ3 当 |f′|q 为 s-凹函数而非 s-凸函数时，界限如何变化？参数 s 的作用是什么？
• RQ4 在 α→1 的极限下，结果是否能恢复或推广 Avci 等人与 Kavurmaci 等人的经典不等式？
• RQ5 当 s∈(0,1] 且 q>1 时，分数阶积分不等式中的最优常数是什么？

主要发现

• 本文建立了一个新的分数阶积分恒等式，该恒等式在 α=1 且 x∈[a,b] 时推广了 Kavurmaci 等人关于经典恒等式的结论。
• 对于 s-凸的 |f′|q，界被表示为两项之和，分别包含 (x−a)^{α+1} 与 (b−x)^{α+1}，其系数依赖于 α、s 与 Beta 函数。
• 对于 s-凹的 |f′|q，上界通过 2^{s−1} 与 Gamma 函数表达，其估计比 s-凸情形更紧密。
• 当 α=1 时，不等式退化为 Avci 等人（2011）的结果，验证了与先前工作的自洽性。
• 在经典 Hermite-Hadamard 不等式中，s-凸函数的常数 1/(s+1) 被证明是最优的。
• 对于 s-凹的 |f′|q，最终不等式包含因子 (Γ(1+p)Γ(1+1/α)/Γ(1+p+1/α))^{1/p}，该因子控制了基于 α 与 p 的界的精确性。