[论文解读] New Unconditional Hardness Results for Dynamic and Online Problems

Raphaël Clifford, Allan Grønlund+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用 11

一句话总结

本文为动态和在线问题建立了新的无条件单元探测下界，特别是针对矩阵-向量乘法和Pătraşcu的多阶段问题。它提出了一种新颖的证明技术，展示了阈值权衡：若查询时间极快，则更新时间必须足够慢，以有效预计算所有答案的查找表，这是此类下界首次实现。

ABSTRACT

There has been a resurgence of interest in lower bounds whose truth rests on the conjectured hardness of well known computational problems. These conditional lower bounds have become important and popular due to the painfully slow progress on proving strong unconditional lower bounds. Nevertheless, the long term goal is to replace these conditional bounds with unconditional ones. In this paper we make progress in this direction by studying the cell probe complexity of two conjectured to be hard problems of particular importance: matrix-vector multiplication and a version of dynamic set disjointness known as Patrascu's Multiphase Problem. We give improved unconditional lower bounds for these problems as well as introducing new proof techniques of independent interest. These include a technique capable of proving strong threshold lower bounds of the following form: If we insist on having a very fast query time, then the update time has to be slow enough to compute a lookup table with the answer to every possible query. This is the first time a lower bound of this type has been proven.

研究动机与目标

• 为动态和在线数据结构问题建立强大且无条件的下界，摆脱条件困难性假设的依赖。
• 解决长期存在的挑战：在不依赖3SUM难或SETH等猜想的前提下，证明多项式时间下界。
• 分析两个基本问题的单元探测复杂度：有限域上的矩阵-向量乘法和Pătraşcu的多阶段问题。
• 开发一种新证明技术，能够推导出阈值下界，其中极快的查询时间迫使更新时间慢到等价于计算完整查找表的程度。
• 证明未能利用有限域结构的数据结构在矩阵-向量乘法中本质上效率低下，每操作需花费 $n^{2-o(1)}$ 时间。

提出的方法

• 以单元探测模型作为计算框架，其中时间通过更新和查询期间访问的内存单元数量来衡量。
• 提出一种新证明技术，将快速查询时间与预计算所有可能答案的完整查找表的必要性联系起来。
• 使用分布均匀的更新索引序列，以确保对于任意大的行集合，更新过程中覆盖了足够多的列。
• 应用概率论证和组合界，证明此类分布均匀的序列以高概率存在。
• 通过编码与解码论证，限制可能输入向量集合的大小，从而得出数据结构效率的信息论极限。
• 通过证明任何具有快速查询时间的数据结构必须存储足够信息以模拟完整答案表，从而强制更新时间变慢，推导出下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在不依赖推测困难性假设的前提下，为动态和在线问题证明无条件的下界？
• RQ2 在有限域上的矩阵-向量乘法中，数据结构的更新时间与查询时间之间是否存在固有的权衡？
• RQ3 我们能否建立一种阈值下界，使得极快的查询时间迫使更新时间慢到如同计算完整查找表的程度？
• RQ4 是否可能证明未能利用有限域结构的数据结构在矩阵-向量乘法中本质上效率低下？
• RQ5 使用现有技术，我们能为Pătraşcu的多阶段问题达到的最强无条件下界是什么？

主要发现

• 本文证明了一项新颖的阈值下界：若查询时间极快，则更新时间必须慢到足以计算所有可能查询的查找表。
• 对于有限域上的矩阵-向量乘法，任何未显式利用有限域结构的数据结构，每操作必须花费 $n^{2-o(1)}$ 时间。
• 这些下界强于当前技术所能达到的程度，且为无条件的，仅依赖于细胞探测模型中的信息论论证。
• 作者构造了一个分布均匀的更新索引序列，使得对于任意大的行集合，更新过程中覆盖了足够多的列，从而支持下界构造。
• 编码论证表明，可能的输入向量数量受 $2^{(27/32)nk\lg|\mathbb{F}|}$ 限制，从而得出紧致的信息论界。
• 随机序列未能成为分布均匀序列的概率至多为 $2^{-\Omega(n^{4/3})}$，使得可对所有相关参数应用并集界，从而保证此类序列的存在性。