[论文解读] New variables for the Einstein theory of gravitation

Людвиг Дмитриевич Фаддеев|ArXiv.org|Nov 2, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文提出通过10个协变矢量场 $ f_{\nu}^{A}(x) $ 作为基本变量来重新表述爱因斯坦的引力理论，其中度规 $ g_{\mu\nu} = f_{\mu}^{A}f_{\nu}^{A} $ 作为复合场出现。该方法在无约束条件下导出了标准的希尔伯特-爱因斯坦方程，并提出引力常数 $ \kappa^{-2} $ 可能作为额外标量场 $ X^A $ 的凝聚态出现，从而提供了一条类似于规范场论中希格斯机制的可重整化路径。

ABSTRACT

The set of 10 covariant vector fields is taken as basic variables to describe the gravitational field. Metric $ g_{μν} $ is a composite field. A possibility for the gravitational constant to be described as a condensate of additional scalar field is discussed.

研究动机与目标

• 为解决量子引力的不可重整化问题，寻求类似于温伯格-萨拉姆理论中希格斯机制的机制。
• 通过将10个协变矢量场 $ f_{\nu}^{A}(x) $ 作为基本自由度，重新表述广义相对论，使度规成为衍生量。
• 探讨引力常数 $ \kappa^{-2} $ 是否可作为额外标量场 $ X^A $ 的凝聚态出现，从而为引力强度提供动力学起源。
• 在不施加约束（如 $ \partial_{\mu}f_{\nu}^{A} - \partial_{\nu}f_{\mu}^{A} = 0 $）的前提下，建立新矢量场表述与标准希尔伯特-爱因斯坦理论之间的完全等价性。

提出的方法

• 将度规定义为 $ g_{\mu\nu} = f_{\mu}^{A}f_{\nu}^{A} $，其中 $ f_{\mu}^{A} $ 作为四维时空中的基本协变矢量场处理。
• 构造线性联络 $ \Omega_{\nu\mu}^{\rho} = f^{\rho A} \partial_{\mu}f_{\nu}^{A} $，该联络与度规相容但通常具有挠率。
• 通过 $ S_{\beta,\mu\nu}^{\alpha} = \partial_{\mu}\Omega_{\beta\nu}^{\alpha} - \nabla_{\nu}\Omega_{\beta\mu}^{\alpha} + \cdots $ 从联络导出黎曼曲率张量，从而正确导出爱因斯坦方程。
• 引入一个新的拉格朗日量 $ \mathcal{L}^{X,f} = \sqrt{g} g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta} X^A (b_{\alpha\mu}^A b_{\beta\nu}^B - b_{\alpha\nu}^A b_{\beta\mu}^B) X^B $，以耦合矢量场与标量场 $ X^A $。
• 提出凝聚态 $ \langle X^A X^B \rangle = \kappa^{-2} P^{AB} $，以使希尔伯特-爱因斯坦拉格朗日量成为有效理论。
• 该方法通过直接从作用量推导爱因斯坦方程，避免了对约束或辅助拉格朗日乘子的依赖，无需施加可积性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义相对论能否通过将矢量场作为基本变量、度规作为复合场来重新表述？
• RQ2 该矢量场表述是否能在不施加约束（如 $ \partial_{\mu}f_{\nu}^{A} = \partial_{\nu}f_{\mu}^{A} $）的条件下重现标准的希尔伯特-爱因斯坦方程？
• RQ3 引力常数 $ \kappa^{-2} $ 是否可作为标量场的凝聚态动态出现，类似于希格斯机制？
• RQ4 是否存在一种一致的拉格朗日表述，使得矢量场 $ f_{\mu}^{A} $ 的动能项源自标量凝聚态？
• RQ5 该矢量场方法是否可通过为 $ \kappa^{-2} $ 提供动力学起源，从而导致引力的可重整化量子理论？

主要发现

• 以 $ f_{\mu}^{A} $ 为基本变量的矢量场表述，无需任何约束或额外拉格朗日乘子，即可导出标准的希尔伯特-爱因斯坦运动方程。
• 从联络 $ \Omega_{\nu\mu}^{\rho} $ 导出的曲率张量正确再现了黎曼曲率，且在对 $ f_{\mu}^{A} $ 变分时，所得运动方程与爱因斯坦方程一致。
• 所提出的拉格朗日量 $ \mathcal{L}^{X,f} $ 在假设凝聚态 $ \langle X^A X^B \rangle = \kappa^{-2} P^{AB} $ 的前提下，与希尔伯特-爱因斯坦作用量的出现相容。
• 提出 $ \kappa^{-2} $ 作为标量凝聚态的机制，为引力的可重整化提供了潜在路径，类似于弱相互作用中的希格斯机制。
• 尝试将 $ \mathcal{L}^{X,f} $ 作为 $ Y^\mu = f_{\mu}^{A}X^A $ 的质量项导出的替代方法因与所需凝聚态结构不兼容而失败，从而确认了直接拉格朗日量（5）的必要性。
• 证明表达式 $ \nabla_{\mu}^\theta Z_a \nabla_{\nu}^\theta Z_a $ 与标架场 $ e_a^A $ 无关，从而确认了最终表述的规范不变性。