[论文解读] Newton polygon stratification of the Torelli locus in PEL-type Shimura varieties

Wanlin Li, Elena Mantovan+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文提出一种黏合方法，证明在PEL型希米拉瓦中，开托里椭球簇与某些牛顿多边形层相交，从而证明在特征p下，光滑曲线可实现无穷多个新的牛顿多边形——其中许多来自射影直线的循环覆盖。该研究证实了在相容性条件下，关于牛顿多边形合并的奥斯特定律，特别是p-大超奇异情形。

ABSTRACT

We study the intersection of the Torelli locus with the Newton polygon stratification of the modulo $p$ reduction of certain PEL-type Shimura varieties. We develop a clutching method to show that the intersection of the open Torelli locus with some Newton polygon strata is non-empty. This allows us to give a positive answer, under some compatibility conditions, to a question of Oort about smooth curves in characteristic $p$ whose Newton polygons are an amalgamate sum. As an application, we produce infinitely many new examples of Newton polygons that occur for smooth curves that are cyclic covers of the projective line. Most of these arise in inductive systems which demonstrate unlikely intersections of the open Torelli locus with the Newton polygon stratification in Siegel modular varieties. In addition, for the twenty special PEL-type Shimura varieties found in Moonen's work, we prove that all Newton polygon strata intersect the open Torelli locus (if $p>>0$ in the supersingular cases).

研究动机与目标

• 确定PEL型希米拉瓦中的牛顿多边形层是否与开托里椭球簇相交，即雅可比簇是否能实现特定的牛顿多边形。
• 将先前关于p-亏格与牛顿多边形层划分的结果推广至PEL型希米拉瓦的归纳系统。
• 在相容性条件下，为奥斯特定律关于低亏格曲线牛顿多边形的合并问题提供肯定回答。
• 通过P^1的循环覆盖，构造出无穷多组新的由光滑曲线实现的牛顿多边形。
• 验证当p充分大且为超奇异时，所有牛顿多边形层均与20个特殊PEL型希米拉瓦中的开托里椭球簇相交。

提出的方法

• 利用参数化μm-覆盖P^1的赫尔维茨空间上的黏合态射，构造具有指定牛顿多边形的奇异曲线。
• 应用平衡条件与相容性条件，确保此类奇异曲线的形变仍为μm-覆盖并保持牛顿多边形不变。
• 采用赫尔维茨空间的归纳系统，其中可递归验证可接受性、平衡性与相容性条件，基础情形来自三支点分支覆盖或穆滕的20个特殊族。
• 借助已知的PEL型希米拉瓦中牛顿多边形层划分结果，特别是通过型签名与p mod m同余类，如科特维茨、维赫曼–韦德霍恩及哈马彻所建立的结果。
• 将问题简化为在与μm群代数相关的酉希米拉瓦中，验证牛顿多边形层的余维数条件。
• 利用迪尤丹模块理论与p-可除群结构，分析希米拉瓦模p约化中的牛顿多边形。

实验结果

研究问题

• RQ1 开托里椭球簇是否与PEL型希米拉瓦中的牛顿多边形层相交，特别是当牛顿多边形接近普通情形时？
• RQ2 奥斯特定律关于两个曲线牛顿多边形合并的问题，是否可在特征p下对光滑曲线的雅可比簇得到验证？
• RQ3 在正特征下，作为P^1的光滑循环覆盖的雅可比簇会产生哪些新的牛顿多边形？
• RQ4 对于20个特殊PEL型希米拉瓦，当p充分大时，所有牛顿多边形层是否均与开托里椭球簇相交？
• RQ5 在何种条件下，具有指定牛顿多边形的奇异曲线可形变为光滑曲线而不改变牛顿多边形？

主要发现

• 当牛顿多边形接近普通情形时，开托里椭球簇与牛顿多边形层的交集在无穷多个PEL型希米拉瓦中非空。
• 在相容性条件下，奥斯特定律关于合并牛顿多边形得到证实，尤其在p-大超奇异情形下。
• 本文构造了无穷多组由光滑曲线实现的新牛顿多边形，其中许多来自P^1的循环覆盖的归纳系统。
• 对于20个特殊PEL型希米拉瓦，当p充分大时，所有牛顿多边形层均与开托里椭球簇相交，尤其在超奇异情形下。
• 该方法在平衡与相容性条件下成功保持了牛顿多边形在奇异曲线形变过程中的不变性，从而实现了具有期望牛顿多边形的光滑曲线的构造。
• 具体实例包括：当m=6且p≡1 mod 6时，牛顿多边形为ord^3 ⊕ ss^2；当m=8且p≡1 mod 8时，牛顿多边形为ord^4 ⊕ ss^3，以及其他列于表1中的情形。