[论文解读] No Free Lunch for Quantum Machine Learning

Kyle Poland, Kerstin Beer+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用 12

一句话总结

本文将经典的无免费午餐（NFL）定理推广至量子机器学习（QML），建立了单位量子学习装置在量子样本上训练后对随机输入误分类的概率——即平均量子风险——的根本下界。通过在酉群上使用哈尓测度积分，作者推导出一个对所有量子学习算法普遍适用的紧致下界，证明即使经过最优训练，任何QML模型也无法在所有量子任务中普遍优于其他模型。该下界通过近期提出的量子神经网络（QNN）架构得到验证，与数值模拟结果高度一致。

ABSTRACT

The ultimate limits for the quantum machine learning of quantum data are investigated by obtaining a generalisation of the celebrated No Free Lunch (NFL) theorem. We find a lower bound on the quantum risk (the probability that a trained hypothesis is incorrect when presented with a random input) of a quantum learning algorithm trained via pairs of input and output states when averaged over training pairs and unitaries. The bound is illustrated using a recently introduced QNN architecture.

研究动机与目标

• 建立完全量子数据的量子机器学习的终极理论极限。
• 将经典的无免费午餐（NFL）定理推广至量子领域，特别是针对基于量子样本的学习。
• 推导出在量子数据上训练的量子学习算法的平均量子风险下界。
• 为评估量子神经网络及其他QML架构的性能提供一个通用基准。
• 通过最近提出的QNN架构展示该边界的实际相关性。

提出的方法

• 通过分析所有可能酉过程和训练集上的平均量子风险，推导出经典NFL定理的量子推广。
• 利用酉群上的哈尓测度积分计算酉算子迹的期望值，利用其不变性性质。
• 应用恒等式 ∫dU |tr(U†V)|² = n² + 1 计算在均匀采样训练对和酉矩阵下的平均量子风险。
• 将量子学习装置建模为在输入和输出量子态对上训练的酉过程，其中假设为酉变换。
• 构建一个变分QNN架构，以数值方式测试理论边界，优化训练数据上的平均输出保真度。
• 通过采样随机测试输入并测量错误预测的比例，对量子风险进行经验评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何在量子数据上训练的量子学习算法，其平均量子风险的根本下界是什么？
• RQ2 经典NFL定理能否推广至量子设置，特别是针对酉过程和量子样本？
• RQ3 所推导的量子NFL边界与实际量子神经网络架构的性能相比如何？
• RQ4 量子神经网络在多大程度上可以逼近量子风险的理论下界？
• RQ5 哈尓测度在推导量子学习算法通用边界中起什么作用？

主要发现

• 推导出平均量子风险的通用下界为 (1 - 1/d)(1 - n/d)，其中 d 为希尔伯特空间维数，n 为训练对数量。
• 该边界紧致且与特定QML架构无关，代表所有量子学习算法的根本极限。
• 使用QNN架构的数值模拟显示，平均量子风险在训练数据充足时非常接近理论下界。
• 边界与数值结果之间的差异归因于训练保真度不足，表明QNN未被训练至100%平均保真度。
• 量子NFL边界比经典NFL边界更紧，反映出量子系统更强的表达能力和约束。
• 推导依赖于哈尓测度积分，且在训练对和未知酉矩阵均匀采样下成立，确保了广泛普适性。