[论文解读] A Quantum Approximate Optimization Algorithm

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 1,772

一句话总结

本文提出了量子近似优化算法（QAOA），这是一种变分量子算法，利用参数化的量子线路寻找组合优化问题的近似解。对于 p=1 时的 3-regular 图上的 MaxCut 问题，该算法保证切割大小至少为最优值的 0.6924 倍，展示了在固定 p 情况下相对于经典方法的可证明性能优势。

ABSTRACT

We introduce a quantum algorithm that produces approximate solutions for combinatorial optimization problems. The algorithm depends on a positive integer p and the quality of the approximation improves as p is increased. The quantum circuit that implements the algorithm consists of unitary gates whose locality is at most the locality of the objective function whose optimum is sought. The depth of the circuit grows linearly with p times (at worst) the number of constraints. If p is fixed, that is, independent of the input size, the algorithm makes use of efficient classical preprocessing. If p grows with the input size a different strategy is proposed. We study the algorithm as applied to MaxCut on regular graphs and analyze its performance on 2-regular and 3-regular graphs for fixed p. For p = 1, on 3-regular graphs the quantum algorithm always finds a cut that is at least 0.6924 times the size of the optimal cut.

研究动机与目标

• 开发一种通用的量子算法，用于寻找 NP-难组合优化问题的近似解。
• 设计一种可在近期量子设备上实现的参数化量子线路，这些设备具有有限的量子比特连通性和相干时间。
• 分析该算法在特定问题（如 MaxCut）上的性能表现，特别是针对固定 p 的正则图。
• 建立一个理论框架，说明随着参数 p 增加，近似质量逐步提升，并在极限 p→∞ 时趋近于精确最优解。
• 探索高效的经典预处理策略，用于在固定 p 时确定最优角度，从而实现高效的量子评估。

提出的方法

• 该算法通过一系列酉操作构造量子态 |γ,β⟩：交替应用 U(C,γ) = e^{-iγC} 和 U(B,β) = e^{-iβB}，其中 C 为代价哈密顿量，B 为混合哈密顿量。
• 初始态 |s⟩ 为所有计算基态的均匀叠加，通过在所有量子比特上施加 Hadamard 门制备。
• 该算法评估期望值 F_p(γ,β) = ⟨γ,β|C|γ,β⟩，该值估计满足的子句数量或切割大小的平均值。
• 对于固定 p，经典预处理通过递归评估量子期望值来求解有界优化问题，以计算最优角度 (γ,β)。
• 当 p 随 n 增大时，该算法将量子计算机作为经典优化循环中的子程序，以在参数空间中最大化 F_p(γ,β)。
• 该算法被应用于正则图上的 MaxCut 问题，利用对称性和微扰理论，推导出 2-regular 和 3-regular 图的解析结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定 p 的参数化量子线路，是否能为组合优化问题提供可证明的近似比？
• RQ2 随着 p 增加，QAOA 的性能如何演化？其是否在极限 p→∞ 时收敛至精确解？
• RQ3 对于固定 p，经典算法是否能高效计算出使期望值 F_p(γ,β) 最大的最优角度 (γ,β)？
• RQ4 当 p=1 时，QAOA 在 3-regular 图上的 MaxCut 问题中能达到多高的近似比？
• RQ5 QAOA 是否可被解释为在独立集图上的连续时间量子行走序列，其中代价哈密顿量引导演化过程？

主要发现

• 对于 p=1 和 3-regular 图，QAOA 保证切割大小至少为最优切割的 0.6924 倍，提供了可证明的近似比。
• 期望值 F_p(γ,β) 随着 p 增加而单调非减，且 lim_{p→∞} M_p = max_z C(z)，意味着该算法可趋近于精确最优解。
• 当 p 固定且每个量子比特参与的子句数量有界时，存在一种高效的经典算法，可计算出使 F_p(γ,β) 最大的最优角度 (γ,β)。
• 该算法的量子线路深度与 p 和约束数量呈线性关系，因此适用于近期量子设备。
• 当 p=1 时，该算法可被解释为在顶点为独立集的图上的连续时间量子行走，其中混合哈密顿量 B 作为邻接矩阵。
• 当 p=1 时，该算法在 3-regular 图上的 MaxCut 问题中相对于经典方法实现了性能提升，展示了在近似质量上的量子优势。