[论文解读] Non-asymptotical sharp exponential estimates for maximum distribution of discontinuous random fields

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Analysis of environmental and stochastic processes参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文利用Orlicz空间与Banach空间范数，针对不连续随机场的最大值尾部分布，提出了非渐近的、精确的指数估计。通过利用矩生成函数与Young-Fenchel变换，推导出在指数衰减速率上精确的上下界，适用于单位立方体上独立同分布随机场的范数和，且显式依赖于场的矩生成函数与尾部行为。

ABSTRACT

We offer in this paper the non-asymptotical bilateral sharp exponential estimates for tail of maximum distribution of {\it discontinuous} random fields. Our consideration based on the theory of Prokhorov-Skorokhod spaces of random fields and on the theory of multivariate Banach spaces of random variables with exponential decreasing tails of distributions.

研究动机与目标

• 推导不连续随机场最大值分布尾部的非渐近精确指数估计。
• 为具有重尾或不连续增量的随机场最大值，建立在指数衰减速率上精确的上下界。
• 将$ B(\theta) $-空间理论扩展至多变量随机场，并应用于独立同分布随机场的范数和。
• 利用场的自然矩生成函数，提供最大值分布的构造性、可计算的界。

提出的方法

• 作者通过Young-Orlicz函数$ \theta $定义一个Banach空间$ B(\theta) $，其中范数由中心化随机变量的矩生成函数导出。
• 他们利用Young-Fenchel变换$ \theta^* $刻画分布的尾部行为，将$ \theta $与尾部的指数衰减速率联系起来。
• 对于随机场$ \xi(t) $，使用自然函数$ \phi_0(\lambda) = \sup_t \log \mathbb{E}[e^{\lambda \xi(t)}] $来定义场的矩生成函数。
• 该方法涉及基于归一化和$ S_n(t) $的累积量生成函数构造函数$ g_n(p) $，以控制最大值尾部的指数衰减。
• 通过在$ p \in (0,1) $上取最小值，推导出上界：$ Q_n(T,u) \leq \inf_p \exp[g_n(p) - \phi_n^*(u(1-p))] $，其中$ \phi_n^* $是$ \phi_n $的共轭凸函数。
• 通过构造一个单位$ B(\theta) $-范数的随机变量$ \rho $，满足$ \mathbb{P}(\rho > x(n)) \geq C \exp(-\theta^*(x(n))) $，并将其推广至随机场，建立下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 不连续随机场最大值分布的尾部，其精确的非渐近指数界是什么？
• RQ2 如何利用随机场的矩生成函数，推导出最大值分布的精确指数衰减速率？
• RQ3 能否以匹配精确渐近衰减速率的方式，同时构造最大值分布的上下界？
• RQ4 Young-Fenchel变换在刻画随机场尾部行为中起什么作用？
• RQ5 这些估计在单位立方体上独立同分布随机场的归一化和中表现如何？

主要发现

• 归一化和$ S_n(t) $的最大值分布的上界为$ Q_n(T,u) \leq \inf_{p \in (0,1)} \exp[g_n(p) - \phi_n^*(u(1-p))] $，其中$ \phi_n(\lambda) = n \phi(\lambda / \sqrt{n}) $。
• 对所有$ n $取上确界时，界变为$ Q(T,u) \leq \inf_p \exp[\overline{g}(p) - \overline{\phi}^*(u(1-p))] $，其中$ \overline{\phi}(\lambda) = \sup_n n \phi(\lambda / \sqrt{n}) $。
• 下界满足：在较弱的方差条件下，对大的$ u $有$ \mathbb{P}(\sup_t S_n(t) > u) \geq \exp(-c u^2) $，表明指数衰减的精确性。
• 这些估计是精确的，因为衰减速率与尾部分布的精确渐近行为一致，这一点由$ \phi^* $与尾部分布之间的逆关系所证实。
• 构造一个满足$ \|\rho\|_{B(\theta)} = 1 $且$ \mathbb{P}(\rho > x(n)) \geq C \exp(-\theta^*(x(n))) $的随机变量$ \rho $，证实了下界的紧致性。
• 结果适用于不连续或重尾随机场，在蒙特卡洛方法和多参数积分的统计推断中具有应用价值。