[论文解读] Non-commutative Two Dimensional Modular Symbol

Ivan Horozov|ArXiv.org|Nov 30, 2006

Advanced Mathematical Identities参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文通过膜（2D流形）上的迭代积分，引入了一种非交换的二维模符号，推广了陈的路径迭代方法。它为 $SL(3,\mathbb{Z})$ 和 $SL_2/K$（其中 $K$ 为实二次域）构造了非交换模符号，为希尔伯特模形式的迭代积分提供了动机解释，并为类数为一的CM域及虚二次域定义了具有动机结构的多重完备Dedekind zeta函数。

ABSTRACT

We define iteration over a two dimensional manifold as analog of iteration over a path defined by Chen. We give several applications. Some of them include constructions of non-abelian modular symbol for $SL(3,\Z)$ and for $SL_{2/K}$, where $K$ is a real quadratic field. We construct the latter as generating series of iterated integrals over a two-dimensional manifold of Hilbert modular forms. We give a motivic interpretation of this non-abelian modular symbol. Other applications give motivic interpretations of certain iterated completed Dedekind zeta functions.

研究动机与目标

• 将陈的迭代积分框架从路径推广到二维膜，以构造非交换模符号。
• 为 $SL(3,\mathbb{Z})$ 和 $SL_2/K$（其中 $K$ 为实二次域）构造非交换模符号。
• 为二维膜上希尔伯特模形式的迭代积分提供动机解释。
• 为类数为一的数域定义并解释多重完备Dedekind zeta函数。
• 推测这些zeta函数对应于四次全实域与类数为一的CM域的混合Tate动机。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^2$ 中的矩形上定义使用微分2-形式的迭代积分，当无积分为零时形成霍普夫代数 $R_A$。
• 推广至膜 $M$，即连续且分段光滑映射 $\theta$ 将矩形映射为膜，边界条件在同伦下固定。
• 引入膜的水平（$\times_1$）与垂直（$\times_2$）复合，扩展至霍普夫代数或环中的生成级数 $J_M$。
• 利用基本2-群胚 $\Pi_2(X)$ 对膜按同伦分类，并在其上建立纤维化结构。
• 为膜上迭代积分构造生成级数 $J_M$，并证明其在 $SL_3(\mathbb{Z})$ 下满足上循环条件。
• 通过 $\theta_K(z_1,z_2)$ 的theta函数的梅林变换定义多重完备Dedekind zeta函数，其中 $\hat{\zeta}_K(s_1,\dots,s_d,\sigma)$ 为 $\frac{1}{d}(\theta_K-1)(-z_1z_2)^s$ 形式的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 膜上迭代积分能否为 $SL(3,\mathbb{Z})$ 提供非交换模符号？
• RQ2 膜迭代框架能否推广至实二次域上的希尔伯特模形式？
• RQ3 通过 $\theta_K(z_1,z_2)$ 的迭代积分定义的多重完备Dedekind zeta函数是否具有动机解释？
• RQ4 当变量为正整数或偶数时，这些zeta函数的动机性质为何？
• RQ5 与这些zeta函数相关的动机是否为类数为一的域的混合Tate动机？

主要发现

• 膜上迭代积分的生成级数 $J_M$ 在积分不为零时形成霍普夫代数，否则形成环结构。
• 在边界条件固定下，膜上迭代积分具有同伦不变性，从而在基本2-群胚 $\Pi_2(X)$ 上建立纤维化。
• 对于 $SL(3,\mathbb{Z})$，通过 $\times_1$ 与 $\times_2$ 复合，生成级数满足上循环条件。
• 当 $s_i$ 为正整数时，多重完备Dedekind zeta函数 $\hat{\zeta}_K(s_1,\dots,s_d)$ 具有动机解释，尤其在 $K$ 类数为一时成立。
• 对于 $K=\mathbb{Q}$ 及类数为一的虚二次域，zeta函数对应于混合Tate动机。
• 本文推测，对于四次全实域或类数为一的CM域，相关动机为混合Tate动机。