[论文解读] Non-formal co-symplectic manifolds

Giovanni Bazzoni, Marisa Fernández+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文证明了在所有奇数维 $ m \geq 3 $ 的情况下，除了 $ m=3, b_1=1 $ 的情形外，非形式紧致共辛流形均存在。通过构造映射环丛（mapping tori）的微分同胚作用于环面和李群的显式例子，并利用其极小模型中非零的 Massey 积，证明了非形式性。结果表明，非形式共辛流形存在的充要条件是：$ m=3 $ 且 $ b_1 \geq 2 $，或 $ m \geq 5 $ 且 $ b_1 \geq 1 $。

ABSTRACT

We study the formality of the mapping torus of an orientation-preserving diffeomorphism of a manifold. In particular, we give conditions under which a mapping torus has a non-zero Massey product. As an application we prove that there are non-formal compact co-symplectic manifolds of dimension $m$ and with first Betti number $b$ if and only if $m=3$ and $b \geq 2$, or $m \geq 5$ and $b \geq 1$. Explicit examples for each one of these cases are given.

研究动机与目标

• 确定所有奇数维与第一贝蒂数下非形式紧致共辛流形的存在性。
• 通过识别哪些对 $ (m=2n+1, b_1) $ 允许非形式例子，解决共辛流形的地理问题。
• 在维数 5 且 $ b_1 = 1 $ 的情况下，显式构造非形式共辛流形，填补分类中的关键空白。
• 通过在流形的极小模型中使用 Massey 积证明非形式性，特别是检测高阶上同调操作的非平凡性。

提出的方法

• 将共辛流形构造为在辛或凯勒流形上保持方向的微分同胚的映射环丛。
• 利用映射环丛的极小模型检测非形式性，特别关注在度数 $ p $ 上诱导的上同调映射具有特征值 1 且重数 $ r \geq 1 $ 的情形。
• 应用定理 15，在微分同胚的上同调条件满足时，确定其在度数 $ p $ 以下的极小模型。
• 通过一对闭形式 $ (F, \eta) $ 定义共辛结构，满足 $ \eta \wedge F^n \neq 0 $，从而保证存在体积形式。
• 在德拉姆复形中计算 Massey 积以检测非形式性，例如 $ \langle [\alpha_1 \wedge \alpha_2], [\alpha_5], [\alpha_5], [\alpha_5] \rangle \neq 0 $。
• 通过使用特定结构方程的完全可解李群，将一个五维例子推广至更高奇数维。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $ m \geq 3 $、$ b_1 \geq 1 $ 的对 $ (m=2n+1, b_1) $，哪些情形下存在非形式紧致共辛流形？
• RQ2 能否显式构造出维数为 5 且第一贝蒂数 $ b_1 = 1 $ 的非形式共辛流形？
• RQ3 一个流形 $ N $ 的微分同胚 $ \varphi $ 满足何种条件，可使其映射环丛 $ N_\varphi $ 为非形式？
• RQ4 如何利用 Massey 积检测共辛流形极小模型中的非形式性？
• RQ5 共辛流形的非形式性是否受其底层映射环丛构造的拓扑性质所阻碍？

主要发现

• 非形式紧致共辛流形存在的充要条件是：$ m=3 $ 且 $ b_1 \geq 2 $，或 $ m \geq 5 $ 且 $ b_1 \geq 1 $，唯一例外为 $ (m,b_1)=(3,1) $。
• 显式构造出一个第一贝蒂数 $ b_1(S) = 1 $ 的五维非形式共辛流形 $ S $，其为四维环面上微分同胚的映射环丛。
• 该流形 $ S $ 的极小模型中包含一个在度数 3 上非恰当的闭元素，表明 $ S $ 不是 2-形式的，因而不是形式的。
• 非零的四重 Massey 积 $ \langle [\alpha_1 \wedge \alpha_2], [\alpha_5], [\alpha_5], [\alpha_5] \rangle = \frac{1}{2}[\alpha_3 \wedge \alpha_4 \wedge \alpha_5] \neq 0 $ 确认了其非形式性。
• 该构造可推广至更高奇数维 $ 2n+1 \geq 5 $，使用具有特定结构方程的完全可解李群，其中 $ d\alpha_j = (-1)^j \alpha_j \wedge \alpha_{2n+1} $ 对 $ j=1,\dots,2n-2 $ 成立。
• 当微分同胚在上同调度数 $ p $ 上具有特征值 1 且重数 $ r \geq 1 $ 时，若 $ r=1 $，则其映射环丛为非形式，此结论由推论 16 所支持。