[论文解读] K\"ahler spaces with zero first Chern class: Bochner principle, fundamental groups, and the Kodaira problem.

Benoît Claudon, Patrick Graf+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用 6

一句话总结

本文在具有 klt 奇点且第一陈类为零的紧致凯勒空间的光滑子集上建立了全纯张量的博赫纳原理，证明在奇异里奇平坦度量下这些张量是平行的。作为关键结果，此类空间在有限拟平展覆盖后可分裂出一个最大维数的复环面，且其切丛按其单连通性表示进行分解，从而将具有强稳定切丛的此类空间分类为在拟平展覆盖下为卡拉比-丘或不可约全纯辛流形。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kahler space with klt singularities and vanishing first Chern class. We prove the Bochner principle for holomorphic tensors on the smooth locus of $X$: any such tensor is parallel with respect to the singular Ricci-flat metrics. As a consequence, after a finite quasi-etale cover $X$ splits off a complex torus of the maximum possible dimension. We then proceed to decompose the tangent sheaf of $X$ according to its holonomy representation. In particular, we classify those $X$ which have strongly stable tangent sheaf: up to quasi-etale covers, these are either Calabi-Yau or irreducible holomorphic symplectic. Several applications of these results are given, the strongest ones of which apply in dimension four. In this case, we prove Campana's Abelianity Conjecture for $X$. If in addition $X$ has only algebraic singularities then a cover of $X$ admits small projective deformations and the Beauville-Bogomolov Decomposition Theorem holds for $X$.

研究动机与目标

• 在具有 klt 奇点且第一陈类为零的紧致凯勒空间的光滑子集上建立全息张量的博赫纳原理。
• 证明此类空间存在一个有限拟平展覆盖，使其分裂出一个最大维数的复环面。
• 根据其单连通性表示分解切丛，并对具有强稳定切丛的空间进行分类。
• 在四维情形下证明卡姆帕纳的阿贝尔性猜想。
• 在附加代数奇点假设下建立贝乌维尔-波戈莫洛夫分解定理。

提出的方法

• 在具有 klt 奇点且第一陈类为零的紧致凯勒空间的光滑子集上使用奇异里奇平坦度量。
• 应用博赫纳原理解释全息张量关于这些度量是平行的。
• 使用有限拟平展覆盖将问题约化至单连通情形，并分析其单连通性表示。
• 通过其单连通性表示分析切丛，将其分解为不可约分量。
• 利用复几何中的稳定性准则与分类结果，识别出具有强稳定切丛的空间。
• 在四倍体中应用维数特定技术，证明卡姆帕纳的阿贝尔性猜想，并在代数奇点条件下证明小投影形变的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 klt 奇点且第一陈类为零的紧致凯勒空间的光滑子集上，全息张量是否满足博赫纳原理？
• RQ2 此类空间是否可通过有限拟平展覆盖实现最大维数复环面的分裂？
• RQ3 切丛的单连通性表示如何分类这些空间的几何结构？
• RQ4 哪些具有零 c1 和 klt 奇点的凯勒空间具有强稳定切丛，其几何类型为何？
• RQ5 在四维情形下，卡姆帕纳的阿贝尔性猜想是否成立？在何种条件下贝乌维尔-波戈莫洛夫分解定理适用？

主要发现

• 此类凯勒空间光滑子集上的全息张量关于奇异里奇平坦度量是平行的。
• 在有限拟平展覆盖后，空间可分裂出一个最大可能维数的复环面。
• 切丛根据其单连通性表示分解为不可约分量。
• 具有强稳定切丛的空间在拟平展覆盖下，要么是卡拉比-丘流形，要么是不可约全息辛流形。
• 在四维情形下，卡姆帕纳的阿贝尔性猜想对这些空间成立。
• 若奇点为代数奇点，则存在一个有限拟平展覆盖，使其允许小投影形变，且贝乌维尔-波戈莫洛夫分解定理成立。