[论文解读] Non-Kähler Calabi-Yau manifolds

Valentino Tosatti|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 49被引用 39

一句话总结

本文引入并研究了非凯勒卡拉比-丘流形，将其定义为具有平凡第一 Bott-Chern 类的紧致复流形，即 $ c_1^{ olimits\mathrm{BC}}(M) = 0 $，该定义通过允许非凯勒度量而推广了凯勒卡拉比-丘流形。本文通过三种不同的形变类型建立了丘-里奇平坦度量的存在性，并证明当参考度量为凯勒或亚凯勒时，此类度量存在，从而将丘定理推广至非凯勒情形。

ABSTRACT

We study the class of compact complex manifolds whose first Chern class vanishes in the Bott-Chern cohomology. This class includes all manifolds with torsion canonical bundle, but it is strictly larger. After making some elementary remarks, we show that a manifold in Fujiki's class C with vanishing first Bott-Chern class has torsion canonical bundle. We also give some examples of non-Kahler Calabi-Yau manifolds, and discuss the problem of defining and constructing canonical metrics on them.

研究动机与目标

• 通过 Bott-Chern 上同调定义并研究更广泛的非凯勒卡拉比-丘流形类，推广经典凯勒卡拉比-丘条件。
• 研究在缺乏凯勒结构的情况下，具有 $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ 的紧致复流形上是否存在典型度量——特别是丘-里奇平坦度量。
• 建立丘定理在非凯勒情形下的类比，利用丘-里奇曲率和蒙日-安培型方程，证明里奇平坦度量的存在性。
• 探讨在非凯勒情形下，平衡度量、Bismut 连接曲率与特殊 holonomy 之间的关系。
• 解决在各种几何假设下构造丘-里奇平坦度量的“形式型卡拉比-丘方程”的可解性问题。

提出的方法

• 将非凯勒卡拉比-丘流形定义为在 $ H^{1,1}_{\mathrm{BC}}(M,\mathbb{R}) $ 中满足 $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ 的紧致复流形，从而推广凯勒卡拉比-丘条件。
• 利用丘-里奇形式 $ \mathrm{Ric}(\omega) = -\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\log\det g $，通过存在光滑函数 $ F $ 使得 $ \mathrm{Ric}(\omega) = \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}F $ 来刻画 $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ 的条件。
• 通过三种不同的试探法构造丘-里奇平坦度量：共形缩放 $ \tilde{\omega}_1 = e^{\varphi_1}\omega $，$ \partial\overline{\partial} $-形变 $ \tilde{\omega}_2 = \omega + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\varphi_2 $，以及形式型形变 $ \tilde{\omega}_3^{n-1} = \omega^{n-1} + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}(\varphi_3\omega_0^{n-2}) $。
• 证明：若蒙日-安培方程 $ \tilde{\omega}^n = e^{F+b}\omega^n $ 在 $ \tilde{\omega}^{n-1} = \omega^{n-1} + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}(u\omega_0^{n-2}) $ 条件下存在解，则 $ \mathrm{Ric}(\tilde{\omega}) = 0 $，从而将其与形式型卡拉比-丘方程联系起来。
• 当 $ \omega_0 $ 为凯勒度量时，利用 Weinkove 与 Tosatti [75] 关于 $ (n-1) $-拟凸函数的结果，证明形式型卡拉比-丘方程的可解性。
• 将分析扩展至亚凯勒情形，其中 $ \partial\overline{\partial}(\omega_0^{n-2}) = 0 $，将问题约化为类似 [76] 中的二阶先验估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 Bott-Chern 上同调类将卡拉比-丘定理推广至非凯勒 Hermitian 流形？
• RQ2 在何种几何与分析条件下，具有 $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ 的紧致复流形会允许存在丘-里奇平坦度量？
• RQ3 三种不同的丘-里奇平坦度量形变类型——共形形变、$ \partial\overline{\partial} $-形变与形式型形变——彼此之间以及与底层几何之间有何关系？
• RQ4 在何种条件下，形式型卡拉比-丘方程存在解，且这与 $ SU(n) $ 中受限 holonomy 的特殊度量的存在性有何关联？
• RQ5 在满足 $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ 的平衡度量上，Bismut 连接是否会产生里奇平坦连接？这对 holonomy 与物理模型有何含义？

主要发现

• 由 $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ 定义的非凯勒卡拉比-丘流形类严格包含凯勒卡拉比-丘流形以及具有全纯挠率 canonical bundle 的流形。
• 对于任意满足 $ c_1^{\mathrm{BC}}(M) = 0 $ 的紧致复流形，存在三种不同的丘-里奇平坦 Hermitian 度量：共形形变、$ \partial\overline{\partial} $-形变与形式型形变，每类均唯一确定（至多相差一个常数）。
• 当参考度量 $ \omega_0 $ 为凯勒时，形式型卡拉比-丘方程 $ \tilde{\omega}^{n-1} = \omega^{n-1} + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}(u\omega_0^{n-2}) $ 与 $ \tilde{\omega}^n = e^{F+b}\omega^n $ 存在唯一解 $ \tilde{\omega} $，从而证明了凯勒情形下的猜想 4.2，进而也证明了猜想 4.1。
• 丘-里奇平坦平衡度量的存在性意味着 Bismut 连接的里奇曲率也消失，暗示 holonomy 受限于 $ SU(n) $，这是弦理论与数学物理中的关键性质。
• 该结果可推广至亚凯勒情形，其中方程的可解性问题约化为对势函数 $ u $ 的二阶先验估计，如 [76] 所示。
• 即使当 $ M $ 为凯勒流形时，所得的丘-里奇平坦度量 $ \tilde{\omega} $ 在 $ n \geq 3 $ 时通常也不是凯勒度量，表明非凯勒情形确实产生了具有新特征的特殊度量的真正新例子。