[论文解读] Noncommutative Geometry and Conformal Geometry. II. Connes-Chern character and the local equivariant index theorem

Raphaël Ponge, Hang Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文通過結合格茨勒的尺度化方法與等變格賴納-哈達馬方法，提出了一種局部等變指標定理的新證明，用以計算等變狄拉克譜系Triple的康nes-楚恩特特徵。關鍵成果是在連續鏈式上同調中獲得康nes-楚恩特特徵的顯式公式，並透過CM上循環類驗證，進而用於計算JLO上循環類的短時間極限。

ABSTRACT

This paper is the second part of a series of papers on noncommutative geometry and conformal geometry. In this paper, we compute explicitly the Connes-Chern character of an equivariant Dirac spectral triple. The formula that we obtain for which was used in the first paper of the series. The computation has two main steps. The first step is the justification that the CM cocycle represents the Connes-Chern character. The second step is the computation of the CM cocycle as a byproduct of a new proof of the local equivariant index theorem of Donnelly-Patodi, Gilkey and Kawasaki. The proof combines the rescaling method of Getzler with an equivariant version of the Greiner-Hadamard approach to the heat kernel asymptotics. Finally, as a further application of this approach, we computate the short-time limit of the JLO cocycle of an equivariant Dirac spectral triple.

研究动机与目标

• 在連續鏈式上同調中明確計算等變狄拉克譜系Triple的康nes-楚恩特特徵。
• 證明CM上循環類在連續週期鏈式上同調中代表康nes-楚恩特特徵，而不僅僅是在標準週期鏈式上同調中。
• 利用尺度化與格賴納-哈達馬熱核技術，提出局部等變指標定理的新證明。
• 計算等變狄拉克譜系Triple的JLO上循環類的短時間極限。
• 將熱核方法的適用範圍擴展至非交換幾何中的等變與邊界設定。

提出的方法

• 使用CM上循環類作為 $ C^\flat(M) \rtimes G $ 的連續週期鏈式上同調中康nes-楚恩特特徵的代表元。
• 應用格茨勒的尺度化方法分析等變設定下的熱核漸近性質。
• 將格賴納-哈達馬方法適應於 $ b $-度量與等變算子的熱核展開。
• 利用可微等變熱核技術推導熱核跡的漸近展開。
• 使用恆等式 $ I_{(H_R + \partial_t)^{-(m+1)}}(x,t) = \frac{1}{m!} t^m I_{(H_R + \partial_t)^{-1}}(x,t) $ 簡化漸近展開中高階項。
• 透過轉移JLO上循環類與在 $ t=0 $ 處的可積性，計算JLO上循環類的短時間極限，避免使用格拉斯曼變數與 $ S^1 $-交叉構造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在連續鏈式上同調中明確計算等變狄拉克譜系Triple的康nes-楚恩特特徵？
• RQ2 在何種條件下，CM上循環類在 $ \mathbf{HP}^0(C^\infty(M) \rtimes G) $ 中代表康nes-楚恩特特徵？
• RQ3 能否結合尺度化與格賴納-哈達馬方法，重新證明局部等變指標定理？
• RQ4 等變狄拉克譜系Triple的JLO上循環類的短時間極限為何？
• RQ5 如何在不使用額外構造（如 $ S^1 $-交叉或格拉斯曼變數）的情況下，建立轉移JLO上循環類在 $ t=0 $ 處的可積性？

主要发现

• 等變狄拉克譜系Triple的康nes-楚恩特特徵由CM上循環類在 $ \mathbf{HP}^0(C^\infty(M) \rtimes G) $ 中表示，此結論由跡的熱核漸近性質所支持。
• 透過尺度化方法與格賴納-哈達馬方法的等變版本，提出局部等變指標定理的新證明。
• JLO上循環類的短時間極限被明確計算為 $ \gamma_\phi(Q)(0) = \frac{1}{(2q)!}(-i)^{n/2}(2\pi)^{-a/2} |\omega^{(\bullet,0)} \wedge \hat{A}(R^{TM^\phi}(0)) \wedge \nu_\phi(R^{\mathcal{N}^\phi}(0))|^{(a,0)} $。
• 利用可微等變熱核技術推導出熱核跡的漸近展開，從而驗證CM上循環類代表康nes-楚恩特特徵的條件。
• 透過引理8.4與定理4.22，確立了轉移JLO上循環類在 $ t=0 $ 處的可積性，避開了以往依賴格拉斯曼變數或 $ S^1 $-交叉的方法。
• 該方法可延伸至邊界設定，從而實現對具有邊界 $ b $-度量的流形上相對JLO上循環類的短時間極限的計算。