[论文解读] Connes-Chern character for manifolds with boundary and eta cochains

Matthias Lesch, Henri Moscovici+1 more|Dec 1, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 38被引用 27

一句话总结

本文使用相对循环上同调，结合 eta 上链和缩放参数，为带有边界的流形上的狄拉克算子构造了康奈斯-楚恩示性类。它表明，经缩放的上链能捕捉边界几何信息，并证明了盖茨勒-吴配对被限制在几乎平坦丛上。

ABSTRACT

We express the Connes-Chern character of the Dirac operator associated to a b-metric on a manifold with boundary in terms of a retracted cocycle in relative cyclic cohomology, whose expression depends on a scaling/cut-off pa- rameter. Blowing-up the metric one recovers the pair of characteristic currents that represent the corresponding de Rham relative homology class, while the blow-down yields a relative cocycle whose expression involves higher eta cochains and their b-analogues. The corresponding pairing formulae with relative K-theory classes capture information about the boundary and allow to derive geometric consequences. As a by-product, we show that the generalized Atiyah-Patodi-Singer pairing introduced by Getzler and Wu is necessarily restricted to almost flat bundles.

研究动机与目标

• 为带有边界的流形上的基本 K-同调类的康奈斯-楚恩示性类提供一个上同调表达式，以反映边界几何信息。
• 通过在相对循环上同调中直接构造 $({\mathcal{C}}^\infty(M), {\mathcal{C}}^\infty(\partial M))$ 对的上链代表，克服整体循环上同调的局限性。
• 实施从整体到周期康奈斯-楚恩示性类的约化程序，得到包含高阶 eta 上链及其 b-类比的相对上链。
• 从该上链与相对 K-理论类的配对中推导几何后果，特别是关于边界不变量的信息。
• 证明盖茨勒和吴提出的广义阿蒂亚-帕特罗-辛格配对必然被限制在几乎平坦丛上。

提出的方法

• 将 [ConMos:TCC] 中的约化程序适配到相对循环上同调，将整体康奈斯-楚恩示性类转化为周期康奈斯-楚恩示性类。
• 利用梅尔罗兹的 b-微分学框架分析带有边界的流形上 b-度量相关的狄拉克算子。
• 构造一个依赖于缩放/截断参数的相对循环上同调中的上链，以表示康奈斯-楚恩示性类。
• 通过拉伸度量，恢复代表德拉姆相对同调类的特征电流对。
• 通过反向压缩度量，得到一个包含高阶 eta 上链及其 b-类比的相对上链。
• 将所得上链与相对 K-理论类进行配对，以提取关于边界的几何信息。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在结合边界几何的前提下，用相对循环上同调表达带有边界的流形上狄拉克算子的康奈斯-楚恩示性类？
• RQ2 缩放/截断参数在构造捕捉边界不变量的约化上链中起什么作用？
• RQ3 度量的拉伸与压缩极限如何与德拉姆类及 eta 上链结构相关联？
• RQ4 该相对上链与相对 K-理论类的配对中编码了哪些几何信息？
• RQ5 为何广义阿蒂亚-帕特罗-辛格配对被限制在几乎平坦丛上？这一结论如何从上链构造中得出？

主要发现

• 带有边界的流形上狄拉克算子的康奈斯-楚恩示性类被实现为相对循环上同调中的约化上链，明确依赖于一个缩放/截断参数。
• 度量的拉伸极限恢复了代表德拉姆相对同调类的特征电流对。
• 度量的压缩极限产生了一个相对上链，其表达式包含高阶 eta 上链及其 b-类比。
• 该上链与相对 K-理论类的配对捕捉了关于边界的几何信息，特别是与 eta-不变量相关的信息。
• 该构造证明了盖茨勒和吴引入的广义阿蒂亚-帕特罗-辛格配对必然被限制在几乎平坦丛上。
• 相对循环上同调框架成功地在康奈斯-楚恩示性类中编码了边界几何，克服了整体循环上同调在有限维情形下的局限性。