[论文解读] Noncommutative motives, numerical equivalence, and semi-simplicity

Matilde Marcolli, Gonçalo Tabuada|arXiv (Cornell University)|May 15, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文通过霍赫希尔德同调引入非交换数值动机，证明其构成一个阿贝尔半单范畴。它建立了格罗滕迪克的数值动机范畴（模去 Tate 旋转）到非交换数值动机中的全纯嵌入，提供了一种新的非交换证明方法，以替代韦伊上同调，证明了詹嫩的半单性定理。

ABSTRACT

In this article we further the study of the relationship between pure motives and noncommutative motives. Making use of Hochschild homology, we introduce the category NNum(k)_F of noncommutative numerical motives (over a base ring k and with coefficients in a field F). We prove that NNum(k)_F is abelian semi-simple and that Grothendieck's category Num(k)_Q of numerical motives embeds in NNum(k)_Q after being factored out by the action of the Tate object. As an application we obtain an alternative proof of Jannsen's semi-simplicity result, which uses the noncommutative world instead of a Weil cohomology.

研究动机与目标

• 开发格罗滕迪克数值动机范畴的非交换类比。
• 证明非交换数值动机范畴是阿贝尔的且半单的。
• 通过非交换几何而非韦伊上同调，提供詹嫩半单性结果的替代证明。
• 阐明经典数值动机与其非交换对应物之间的关系，镜像 Chow 动机嵌入。

提出的方法

• 通过使用霍赫希尔德同调定义交点数，构造基环 $k$ 上系数在域 $F$ 中的非交换数值动机范畴 $\operatorname{NNum}(k)_F$。
• 通过公式 $\langle\underline{X} \cdot \underline{Y}\rangle := \sum_{i,j} a_i b_j [HH(\mathcal{A}; X_i \otimes^\mathbb{L}_\mathcal{B} Y_j)]$ 在 $K_0(k)_F$ 中定义两个对应关系的交点数。
• 从 $\operatorname{Chow}(k)_\mathbb{Q}$ 和 $\operatorname{NChow}(k)_\mathbb{Q}$ 中商掉 Tate 对象 $\mathbb{Q}(1)$ 的作用，形成轨道范畴。
• 构造一个从经典数值动机的轨道范畴到非交换数值动机范畴的全纯、$\mathbb{Q}$-线性、加法且对称张量的函子 $R_\mathcal{N}$。
• 利用轨道范畴函子的保守性质，证明轨道范畴中的同构可上拉至原范畴中的同构。
• 利用 $\operatorname{NNum}(k)_\mathbb{Q}$ 中自同态代数的有限维性，推导出经典情形下的有限维性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在格罗滕迪克数值动机范畴的非交换类比？
• RQ2 非交换数值动机范畴是否为阿贝尔范畴且半单？
• RQ3 能否通过非交换方法而非韦伊上同调，重新证明詹嫩对数值动机的半单性定理？
• RQ4 在模去 Tate 旋转后，经典数值动机范畴与其非交换对应物之间关系如何？

主要发现

• 对任意域 $F$，非交换数值动机范畴 $\operatorname{NNum}(k)_F$ 均为阿贝尔范畴且半单。
• 存在一个从轨道范畴 $\operatorname{Num}(k)_\mathbb{Q}/_{\!\!-\otimes\mathbb{Q}(1)}$ 到 $\operatorname{NNum}(k)_\mathbb{Q}$ 的全纯、$\mathbb{Q}$-线性、加法且对称张量的函子 $R_\mathcal{N}$，将经典数值动机嵌入非交换设定中。
• 两个对应关系的交点数通过霍赫希尔德同调定义，为计数有理点提供了一种类比的非交换版本。
• 任何对象在 $\operatorname{Num}(k)_\mathbb{Q}$ 中的自同态代数均为有限维，这是由于其嵌入到 $\operatorname{NNum}(k)_\mathbb{Q}$ 中，且后者中自同态代数的有限维性所致。
• 詹嫩半单性结果的证明在非交换世界中被重新推导，仅依赖于霍赫希尔德同调与范畴论构造，无需引入韦伊上同调。
• 该构造建立了 Chow 动机与数值动机之间关系的精确非交换推广，其中 Tate 旋转在比较中起核心作用。