[论文解读] Noncommutative relativistic particle

Alexei A. Deriglazov|ArXiv.org|Jul 30, 2002

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 4被引用 8

一句话总结

该论文通过引入动力学反称张量场 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ 作为非对易性参数，提出了一种显式满足庞加莱对称性的非交换相对论性粒子模型。该模型具有局部对称性，允许通过规范固定得到 $\theta^{0i}=0$，$\theta^{ij}=\text{const}$，从而在相空间中实现非交换性，满足 $\{x^\mu,x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$。其关键贡献在于构建了一个显式实现对称性的庞加莱不变非交换相对论力学理论，且在规范固定后的理论中明确展现了对称性。

ABSTRACT

Noncommutative version of D-dimensional relativistic particle is proposed. We consider the particle interacting with the configuration space variable $θ^{μν}(τ)$ instead of the numerical matrix. The corresponding Poincare invariant action has a local symmetry, which allows one to impose the gauge $θ^{0i}=0, ~ θ^{ij}=const$. The matrix $θ^{ij}$ turns out to be the noncommutativity parameter of the gauge fixed formulation. Poincare transformations of the gauge fixed formulation are presented in the manifest form.

研究动机与目标

• 构建一个在 D 维空间中显式满足庞加莱对称性的非交换相对论性粒子的理论形式。
• 通过将 $\theta^{\mu\nu}$ 提升为动力学场 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$，解决 Lorentz 对称性与固定数值 $\theta^{\mu\nu}$ 之间的矛盾。
• 实施一种规范固定程序，使得物理理论在空间部分具有常数的非交换性参数 $\theta^{ij}$。
• 推导规范固定后理论中庞加莱变换的显式形式，展示其作为全局与局部对称性组合的特性。
• 建立 Dirac 对 bracket 结构，并确认物理可观测量 $x^\mu$、$p^\mu$ 的非交换相空间的一致性。

提出的方法

• 引入一个具有动力学 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ 的一阶作用量，确保显式满足庞加莱对称性与重参数化对称性。
• 引入一个类似 Chern-Simons 的项 $\frac{1}{\theta^2}\dot{v}_\mu \theta^{\mu\nu} v_\nu$，通过场 $\theta^{\mu\nu}$ 生成非交换性。
• 在哈密顿形式中识别初级与次级约束，包括 $G^\mu = p^\mu - v^\mu = 0$，$T^\mu = \pi^\mu - \frac{1}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}v_\nu = 0$，以及 $v^2 - m^2 = 0$。
• 使用 Dirac 对 bracket 形式处理二级约束，推导出非平凡的泊松括号 $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$。
• 应用规范固定条件 $\theta^{0i} = 0$，$\theta^{ij} = \text{const}$，该条件在 $\theta_{ij}\theta_{ji} \neq 0$ 时是可接受的，并求解拉格朗日乘子。
• 推导出物理运动方程 $\dot{x}^\mu = e p^\mu$，$\dot{p}^\mu = 0$，以及变换后的庞加莱对称性 $\delta x^\mu = \omega^\mu_\nu x^\nu + \frac{1}{\theta^2} p_\nu \omega^{[\nu}_\rho \theta^{\rho\mu]}$，$\delta p^\mu = \omega^\mu_\nu p^\nu$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非对易性参数不是常数时，如何构造一个保持庞加莱对称性的非交换相对论性粒子？
• RQ2 动力学场 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$ 在保持局部对称性并实现一致规范固定中起到什么作用？
• RQ3 规范固定后理论中的庞加莱变换如何作为全局与局部对称性的组合而出现？
• RQ4 物理区域中的 Dirac 对 bracket 结构是怎样的？它如何产生非交换代数 $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$？
• RQ5 该规范固定后的理论是否能保持庞加莱对称性？如果是，对称性如何被显式实现？

主要发现

• 该模型具有显式满足庞加莱对称性的作用量，其中使用了动力学反称张量场 $\theta^{\mu\nu}(\tau)$，取代了固定的数值 $\theta^{\mu\nu}$。
• 规范选择 $\theta^{0i} = 0$，$\theta^{ij} = \text{const}$ 是可接受的，并导致一个非交换相空间，满足 $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$，其中 $\theta^2 = \theta^{\mu\nu}\theta_{\mu\nu}$。
• 规范固定后理论的物理运动方程为 $\dot{x}^\mu = e p^\mu$ 与 $\dot{p}^\mu = 0$，且 $p^2 - m^2 = 0$ 为约束条件。
• 规范固定后理论的庞加莱对称性被实现为全局庞加莱变换与参数为 $\epsilon^{\mu\nu}(\omega) = \frac{1}{\theta^2}\omega^{[\mu}_\rho \theta^{\rho\nu]}$ 的补偿局部变换的组合，从而确保规范不变性。
• Dirac 对 bracket 结构确认了 $x^\mu$ 与 $p^\mu$ 构成一个一致的非交换相空间，满足 $\{x^\mu, x^\nu\} = -\frac{2}{\theta^2}\theta^{\mu\nu}$，同时 $\{x^\mu, p^\nu\} = \delta^\mu_\nu$ 与 $\{p^\mu, p^\nu\} = 0$。
• 最终理论是一个一致的、满足庞加莱对称性的非交换相对论性粒子理论，其空间部分具有明确定义的非交换性参数 $\theta^{ij}$，该参数由规范固定的动力学导出。