[论文解读] Noncommutative residue for Heisenberg manifolds. Applications in CR and contact geometry

Raphaël Ponge|ArXiv.org|Jul 12, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 45被引用 5

一句话总结

本文通过将算子迹解析延拓至非整数阶，构造了在Heisenberg流形上Heisenberg伪微分算子（ΨH DOs）的非交换剩余迹，并将其与核函数对数奇点密度的积分相联系。关键结果是：该剩余迹在整数阶ΨH DOs代数上唯一（至多一个标量倍数），从而在CR几何与接触几何中具有应用，包括谱不变量与几何体积的定义。

ABSTRACT

This paper has four main parts. In the first part, we construct a noncommutative residue for the hypoelliptic calculus on Heisenberg manifolds, that is, for the class of Heisenberg PsiDOs introduced by Beals-Greiner and Taylor. This noncommutative residue appears as the residual trace on integer order Heisenberg PsiDOs induced by the analytic extension of the usual trace to non-integer order Heisenberg PsiDOs. Moreover, it agrees with the integral of the density defined by the logarithmic singularity of the Schwartz kernel of the corresponding Heisenberg PsiDO. In addition, we show that this noncommutative residue provides us with the unique trace up to constant multiple on the algebra of integer order Heisenberg PsiDOs. In the second part, we give some analytic applications of this construction concerning zeta functions of hypoelliptic operators, logarithmic metric estimates for Green kernels of hypoelliptic operators, and the extension of the Dixmier trace to the whole algebra of integer order Heisenberg PsiDOs. In the third part, we present examples of computations of noncommutative residues of some powers of the horizontal sublaplacian and the contact Laplacian on contact manifolds. In the fourth part, we present two applications in CR geometry. First, we give some examples of geometric computations of noncommutative residues of some powers of the horizontal sublaplacian and of the Kohn Laplacian. Second, we make use of the framework of noncommutative geometry and of our noncommutative residue to define lower dimensional volumes in pseudohermitian geometry, e.g., we can give sense to the area of any 3-dimensional CR manifold. On the way we obtain a spectral interpretation of the Einstein-Hilbert action in pseudohermitian geometry.

研究动机与目标

• 为Heisenberg流形上的拟椭圆微分演算定义非交换剩余迹，将Wodzicki剩余推广至非椭圆情形。
• 在整数阶ΨH DOs代数上建立该迹的唯一性（至多一个标量倍数）。
• 将该迹应用于拟椭圆算子的zeta函数、Green核估计以及Dixmier迹的延拓。
• 计算接触流形上水平次拉普拉斯算子与接触拉普拉斯算子幂的非交换剩余。
• 在伪Hermitian几何中定义低维体积，并给出Einstein-Hilbert作用量的谱解释。

提出的方法

• 通过将算子迹解析延拓至非整数阶ΨH DOs，构造非交换剩余迹。
• 将剩余迹与ΨH DO核函数对数奇点所导出的密度积分相联系。
• 利用对数奇点密度在Heisenberg微分同胚下的函子性，确保其全局不变性。
• 通过Schwartz核的特征刻画与换位子结构，证明整数阶ΨH DOs上迹的唯一性。
• 将剩余迹应用于拟椭圆算子的zeta函数，建立剩余迹与热核渐近之间的联系。
• 推导局部指标公式，并将Weyl渐近性重新表述为非交换剩余的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Heisenberg流形上的拟椭圆微分演算定义类似于Wodzicki剩余的非交换剩余？
• RQ2 该非交换剩余是否为整数阶ΨH DOs代数上唯一的迹（至多一个标量倍数）？
• RQ3 如何利用非交换剩余定义伪Hermitian几何中的几何不变量，如低维体积？
• RQ4 在CR几何背景下，Einstein-Hilbert作用量的谱解释是什么？
• RQ5 能否利用该剩余迹推导出拟椭圆算子的局部指标公式与Weyl渐近性？

主要发现

• ΨH DOs的非交换剩余被唯一刻画为整数阶算子上唯一的迹（至多一个标量倍数），将Wodzicki的结果推广至拟椭圆情形。
• 该剩余迹源于核函数对数奇点密度的负积分，该密度全局定义且在Heisenberg微分同胚下保持不变。
• 对于接触流形上的水平次拉普拉斯算子与接触拉普拉斯算子，本文提供了其幂的非交换剩余的显式计算。
• 该剩余迹使得伪Hermitian几何中低维体积的定义成为可能，例如任意3维CR流形的面积。
• 拟椭圆ΨH DO的zeta函数是亚纯函数，其留数可表示为非交换剩余，从而将谱数据与几何不变量联系起来。
• 非交换剩余为伪Hermitian几何中Einstein-Hilbert作用量提供了谱解释，扩展了其在非交换几何中的作用。