[论文解读] Normal Approximation by Stein's Method under Sublinear Expectations

Yongsheng Song|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文通过使用 Stein 方法，在子线性期望下建立了中心极限定理的收敛速率，证明了归一化和 $ W_n $ 与 $ G $-正态分布 $ \mathcal{N}_G $ 之间的近似误差被限制在 $ C_{\alpha,G} \frac{\hat{\mathbf{E}}[|X_1|^{2+\alpha}]}{n^{\alpha/2}} $ 以内，其中 $ \alpha \in (0,1) $，将经典的 Stein 方法扩展至非线性期望框架，并给出了显式的误差界。

ABSTRACT

Peng (2008)(\cite{P08b}) proved the Central Limit Theorem under a sublinear expectation: extit{Let $(X_i)_{i\ge 1}$ be a sequence of i.i.d random variables under a sublinear expectation $\hat{\mathbf{E}}$ with $\hat{\mathbf{E}}[X_1]=\hat{\mathbf{E}}[-X_1]=0$ and $\hat{\mathbf{E}}[|X_1|^3]0$ and $\mathcal{N}_G$ is the $G$-normal distribution with \[G(a)=\frac{1}{2}\hat{\mathbf{E}}[aX_1^2]=\frac{1}{2}(\overlineσ^2a^+-\underlineσ^2a^-), \ a\in \mathbb{R}.\]}

研究动机与目标

• 将 Stein 方法扩展至子线性期望空间，以实现正态近似。
• 量化在模型不确定性下 Peng 中心极限定理的收敛速率。
• 为独立同分布随机变量和对 $ G $-正态分布的近似建立非渐近误差界。
• 通过使用 $ G $-热方程的粘性解，克服非线性情况下经典 Stein 方程不存在的问题。
• 基于和项的 $ (2+\alpha) $ 阶绝对矩，推导出近似误差的可计算上界。

提出的方法

• 通过用基于 $ G $-热方程的 PDE 方法替代经典 Stein 方程，将 Stein 方法适配至子线性期望。
• 定义函数 $ u(x,t) = \mathcal{N}_G[\varphi(x + \sqrt{t}\cdot)] $ 为 $ G $-热方程 $ \partial_t u - G(D_x^2 u) = 0 $ 的粘性解，初始条件为 $ u(x,0) = \varphi(x) $。
• 构造一个类似离散时间鞅的序列 $ A_i = \hat{\mathbf{E}}[u(W_i, 1 - t_i)] $，其中 $ W_i $ 为部分和，$ t_i $ 为第 $ i $ 步的归一化方差。
• 通过涉及 $ \sup_{\mu \in \Theta} \mu[\mathcal{L}_{G_\beta} \phi_s] $ 的表示，利用子线性期望与线性期望之间的差异来界定 $ |A_i - A_{i-1}| $ 的差值。
• 利用解 $ u $ 的 Hölder 正则性，其指数为 $ \alpha \in (0,1) $，并通过 $ [D_x^2 u]_\alpha \leq c_{\alpha,G} (1-t)^{-(1/2 + \alpha/2)} $ 进行量化。
• 通过在时间区间上积分并控制增量的 $ (2+\alpha) $ 阶矩 $ \hat{\mathbf{E}}[|\xi_i|^{2+\alpha}] $，推导出最终的误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Stein 方法适配至子线性期望框架，以提供非渐近误差界？
• RQ2 在子线性期望下，归一化和 $ W_n $ 到 $ G $-正态分布的收敛速率是多少？
• RQ3 在非线性期望空间中，由于缺乏经典 Stein 方程，对近似界构造有何影响？
• RQ4 Hölder 正则性在 $ G $-热方程解中的作用如何影响误差估计的推导？
• RQ5 方差 $ \underline{\sigma}^2 $ 和 $ \overline{\sigma}^2 $ 在 $ G $-正态近似中的收敛速率中起什么作用？

主要发现

• 本文建立了近似误差的非渐近上界：$ \sup_{|\varphi|_{\text{Lip}} \leq 1} \left| \hat{\mathbf{E}}[\varphi(W_n)] - \mathcal{N}_G[\varphi] \right| \leq C_{\alpha,G} \frac{\hat{\mathbf{E}}[|X_1|^{2+\alpha}]}{n^{\alpha/2}} $，其中 $ \alpha \in (0,1) $。
• 常数 $ C_{\alpha,G} $ 显式依赖于 $ \alpha $、$ \underline{\sigma}^2 $ 和 $ \overline{\sigma}^2 $，反映了子线性框架中条件方差的范围。
• 收敛速率为 $ O(n^{-\alpha/2}) $，慢于经典情形的 $ O(n^{-1/2}) $，但反映了非线性期望设定下的额外不确定性。
• 证明依赖于 $ G $-热方程的粘性解理论，以及通过 $ A_i = \hat{\mathbf{E}}[u(W_i, 1 - t_i)] $ 构建的时间离散耦合论证。
• 关键技术创新在于通过 $ s \in [0,1] $ 上的积分表示子线性期望与线性期望之间的差异，涉及生成元 $ \mathcal{L}_{G_\beta} $。
• 该界是紧致的，因为其依赖于独立同分布和项的 $ (2+\alpha) $ 阶矩，而该矩控制了 $ G $-热方程解的正则性。