[论文解读] G-Brownian Motion and Dynamic Risk Measure under Volatility Uncertainty

Shigē Péng|ArXiv.org|Nov 19, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 43被引用 156

一句话总结

本文通过构建一个推广经典伊藤微积分的非线性期望框架，引入了G-布朗运动以及在波动率不确定下的动态风险度量。其主要贡献是一个新的中心极限定理，该定理导出G-正态分布，从而实现了在模型模糊性下的稳健金融风险建模，并应用于随机微分方程与非线性费曼-卡茨公式。

ABSTRACT

We introduce a new notion of G-normal distributions. This will bring us to a new framework of stochastic calculus of Ito's type (Ito's integral, Ito's formula, Ito's equation) through the corresponding G-Brownian motion. We will also present analytical calculations and some new statistical methods with application to risk analysis in finance under volatility uncertainty. Our basic point of view is: sublinear expectation theory is very like its special situation of linear expectation in the classical probability theory. Under a sublinear expectation space we still can introduce the notion of distributions, of random variables, as well as the notions of joint distributions, marginal distributions, etc. A particularly interesting phenomenon in sublinear situations is that a random variable Y is independent to X does not automatically implies that X is independent to Y. Two important theorems have been proved: The law of large number and the central limit theorem.

研究动机与目标

• 通过非线性期望构建模型不确定性下的随机微积分。
• 在非线性期望空间中，将G-布朗运动定义为经典布朗运动的推广。
• 建立一个G-中心极限定理，导出具有波动率不确定性的G-正态分布。
• 基于非线性期望构建一种动态风险度量，称为G-风险度量。
• 在G-布朗运动下扩展伊藤微积分，包括伊藤公式与随机微分方程。

提出的方法

• 在非线性期望下，将i.i.d.随机变量和的极限构造为G-正态分布，推广经典中心极限定理。
• 将G-布朗运动定义为在非线性期望下具有独立平稳增量的连续过程，其二次变差过程也具有独立增量。
• 利用博赫纳积分与二次变差过程，构建G-伊藤积分与G-伊藤公式。
• 引入G-鞅与G-凸函数，建立非线性期望下的Jensen型不等式。
• 通过皮卡迭代方法，在G-动态下求解随机微分方程。
• 推导非线性费曼-卡茨公式，并建立由G-生成元驱动的PDE的粘性解理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非线性期望背景下推广中心极限定理，以建模波动率不确定性？
• RQ2 G-布朗运动下的随机微积分结构是怎样的？与经典伊藤微积分有何不同？
• RQ3 能否从非线性期望中构造出动态风险度量？其与一致风险度量的关系如何？
• RQ4 G-随机微分方程的行为特征是什么？在何种条件下可保证解的存在性与唯一性？
• RQ5 G-布朗运动与完全非线性PDE的粘性解之间存在何种联系？

主要发现

• 在非线性期望下提出一个新的中心极限定理，其依分布收敛于G-正态分布N(0, [σ̲², σ̄²])，其中σ̄² = ℰ̂[X²]，σ̲² = −ℰ̂[−X²]。
• G-布朗运动展现出丰富结构：其二次变差过程⟨B⟩同样具有独立与平稳增量，推广了经典性质。
• 推导出G-伊藤公式，并证明其在G-随机微积分框架下成立，从而实现对G-布朗运动的伊藤积分。
• 由G-布朗运动驱动的随机微分方程可通过皮卡迭代获得唯一解，扩展了经典存在性结果。
• 建立了非线性费曼-卡茨公式，将完全非线性PDE的解与G-期望及倒向SDEs联系起来。
• 发展了由G-生成元驱动的PDE的粘性解理论，包括对下解与上解的比较定理与控制定理。