[论文解读] Normal subgroups of mapping class groups and the metaconjecture of Ivanov

Tara Brendle, Dan Margalit|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用 11

一句话总结

本文证明了，对于闭曲面的扩展映射类群的正规子群，若其包含一个具有小支撑的元素，则其自同构群与抽象共轭群均同构于扩展映射类群本身。证明的关键在于表明，与曲面相关联的许多单纯复形的自同构群同构于扩展映射类群，从而解决了伊万诺夫元猜想在一大类对象上的情形，并为正规子群的分类建立了新的工具。

ABSTRACT

We prove that if a normal subgroup of the extended mapping class group of a closed surface has an element of sufficiently small support then its automorphism group and abstract commensurator group are both isomorphic to the extended mapping class group. The proof relies on another theorem we prove, which states that many simplicial complexes associated to a closed surface have automorphism group isomorphic to the extended mapping class group. These results resolve the metaconjecture of N.V. Ivanov, which asserts that any "sufficiently rich" object associated to a surface has automorphism group isomorphic to the extended mapping class group, for a broad class of such objects. As applications, we show: (1) right-angled Artin groups and surface groups cannot be isomorphic to normal subgroups of mapping class groups containing elements of small support, (2) normal subgroups of distinct mapping class groups cannot be isomorphic if they both have elements of small support, and (3) distinct normal subgroups of the mapping class group with elements of small support are not isomorphic. Our results also suggest a new framework for the classification of normal subgroups of the mapping class group.

研究动机与目标

• 为解决伊万诺夫元猜想，该猜想认为任何与曲面相关联的足够丰富的对象，其自同构群均同构于扩展映射类群。
• 建立映射类群的正规子群具有自同构群与抽象共轭群同构于扩展映射类群的一般判据。
• 基于小支撑元素的存在，为分类映射类群的正规子群提供新框架。
• 证明某些群（如右-angled Artin 群与曲面群）不能同构于包含小支撑元素的正规子群。
• 证明具有小支撑元素的不同的正规子群彼此之间不互相同构，从而确立一个强不变量。

提出的方法

• 作者将研究正规子群自同构群的问题，简化为分析与曲面相关联的单纯复形的自同构。
• 他们定义了单纯复形，其中顶点对应连通子曲面，边对应不相交性，并在较弱条件下证明此类复形的自同构群同构于扩展映射类群。
• 证明使用了普特曼技巧，以证明与 genus $k-1$ 的顶点相关联的共享对图的连通性，这对自同构结果至关重要。
• 作者应用德恩扭转理论及映射类群的结构，来在这些复形上生成作用。
• 他们利用伊万诺夫已确立的事实：曲线复形的自同构群同构于扩展映射类群，从而将结果推广至其他复形。
• 关键技术步骤涉及分析子曲面中曲线与弧的配置，以排除其他类型的自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 根据伊万诺夫元猜想的预测，是否每个与曲面相关联的足够丰富的对象，其自同构群均同构于扩展映射类群？
• RQ2 能否仅通过一个具有小支撑的元素的存在，来确定映射类群正规子群的自同构群？
• RQ3 包含小支撑元素的映射类群的正规子群是否在同构意义下唯一确定？
• RQ4 右-angled Artin 群或曲面群能否同构于包含小支撑元素的映射类群的正规子群？
• RQ5 具有小支撑元素的不同映射类群正规子群是否彼此不互相同构？

主要发现

• 任何包含足够小支撑元素的扩展映射类群的正规子群，其自同构群同构于扩展映射类群。
• 此类正规子群的抽象共轭群也同构于扩展映射类群。
• 与曲面相关联的许多自然定义的单纯复形，其自同构群同构于扩展映射类群，包括曲线复形与共享对图。
• 不同亏格 $g$ 的映射类群的正规子群（若包含小支撑元素），彼此之间不能同构。
• 右-angled Artin 群与曲面群不能同构于任何包含小支撑元素的映射类群正规子群。
• 具有小支撑元素的不同映射类群正规子群彼此之间不互相同构，从而确立了一个强分类不变量。