[论文解读] Notes on the differentiation of quasi-convex functions

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Functional Equations Stability Results参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文提供了拟凸函数基本可微性质的初等证明，确立了此类函数在上接触点处可微，且其梯度具有部分连续性。关键贡献是一个统一定理，表明上接触喷射在全测度集上属于二阶喷射的闭包，该结论蕴含Hessian矩阵的部分上半连续性，并通过一种新颖、简洁的拟凸分析框架，统一了Jensen与Slodkowski的结果。

ABSTRACT

This expository paper presents elementary proofs of four basic results concerning derivatives of quasi-convex functions. They are combined into a fifth theorem which is simple to apply and adequate in many cases. Along the way we establish the equivalence of the basic lemmas of Jensen and Slodkowski.

研究动机与目标

• 建立拟凸函数核心可微性质的初等、自包含证明。
• 将Jensen与Slodkowski关于上接触喷射的古典结果统一为一个通用定理。
• 阐明上接触喷射、梯度部分连续性与Alexandrov关于几乎处处二阶可微性的定理之间的关系。
• 证明在全测度假设下，二阶可微点集在上接触喷射支撑集中稠密。
• 将$ C^{1,1} $函数表征为同时拟凸与拟凹的函数，从而将正则性与拟凸性联系起来。

提出的方法

• 将上接触喷射$(p, A)$定义为函数$u$在点$x$处的二阶上逼近，满足在$x$附近有$ u(y) \leq u(x) + \langle p, y-x \rangle + \frac{1}{2}\langle A(y-x), y-x \rangle $。
• 通过证明$u + \frac{\lambda}{2}|x|^2$的凸性，证明在上接触点处梯度$p$唯一，从而证明可微性。
• 通过证明当序列$x_j \to x$且$u$在每个$x_j$与$x$处可微时，有$D_{x_j}u \to D_xu$，建立梯度的部分连续性。
• 利用Slodkowski引理与Jensen引理，证明严格上接触喷射蕴含在小球内存在正测度的全局上接触点。
• 应用Rademacher定理与Sard定理，证明$u$二阶可微的点集具有全测度，从而支持主定理中的闭包论证。
• 通过与逼近恒等式卷积，将一般$C^{1,1}$情形约化为光滑情形，证明$u$是$\lambda$-拟凸当且仅当$\pm u$均为$\lambda$-拟凸。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，拟凸函数在某点可微，且梯度是否由上接触喷射唯一确定？
• RQ2 当序列收敛至可微点时，拟凸函数的梯度行为如何？
• RQ3 严格上接触喷射的存在性与小邻域内全局上接触点正测度之间的关系为何？
• RQ4 Jensen与Slodkowski关于上接触喷射的结果能否统一为一个适用于拟凸函数的通用定理？
• RQ5 精确而言，$C^{1,1}$正则性与函数同时拟凸与拟凹之间的关系为何？

主要发现

• 拟凸函数在每个上接触点处可微，且梯度由上接触喷射唯一确定。
• 拟凸函数的梯度具有部分连续性：若$x_j \to x$，且$u$在每个$x_j$与$x$处可微，则$D_{x_j}u \to D_xu$。
• 对任意严格上接触喷射$(p, A)$在点$x$处，存在$\bar{\rho} > 0$，使得对所有$\rho \leq \bar{\rho}$，在$B_\rho(x)$上类型为$A$的全局上接触点集具有正测度。
• 主定理表明，对任意全测度集$E$，有$J^+(u) \subset \overline{J(u,E)}$，该结论蕴含Hessian矩阵的部分上半连续性。
• 函数$u$是$\lambda$-拟凸且$\lambda$-拟凹当且仅当$u$为$C^{1,1}$函数，且满足$|D_xu - D_yu| \leq \lambda|x-y|$。
• 与逼近恒等式卷积保持$\lambda$-拟凸性，从而可将一般$C^{1,1}$情形约化为光滑情形。