[论文解读] Novel Characteristics of Split Trees by use of Renewal Theory

Cecilia Holmgren|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文将更新理论应用于分裂树——一类包含二叉查找树和tries的广泛随机树类——提供了顶点深度的更紧尾部界限，并推导出深度方差的首个渐近表达式。研究证明，与典型深度 $\frac{\ln n}{\mu}$ 显著偏离的顶点数量迅速衰减，并利用基于更新理论的概率与解析技术，精确推导出深度相关统计量的渐近展开式。

ABSTRACT

We investigate characteristics of random split trees introduced by Devroye; split trees include for example binary search trees, $m$-ary search trees, quadtrees, median of $(2k+1)$-trees, simplex trees, tries and digital search trees. More precisely: We introduce the use of renewal theory in the studies of split trees, and use this theory to prove several results about split trees. A split tree of cardinality $n$ is constructed by distributing $n$ "balls" (which often represent "key numbers") in a subset of vertices of an infinite tree. One of our main results is to give a relation between the deterministic number of balls $n$ and the random number of vertices $N$. Devroye has found a central limit law for the depth of the last inserted ball so that most vertices are close to $\frac{\ln n}μ+\mathcal{O}\Big(\sqrt{\ln n}\Big)$, where $μ$ is some constant depending on the type of split tree; we sharpen this result by finding an upper bound for the expected number of vertices with depths $\geq\frac{\ln n}μ+\ln^{0.5+ε} n$ or depths $\leq\frac{\ln n}μ+\ln^{0.5+ε} n$ for any choice of $ε>0$. We also find the first asymptotic of the variances of the depths of the balls in the tree.

研究动机与目标

• 使用更新理论分析随机分裂树中的深度分布，这是该领域的一种新颖方法。
• 通过提供更紧的尾部界限，改进现有关于最后插入球深度的中心极限定理。
• 推导出分裂树中顶点深度方差的首个渐近表达式。
• 建立确定性球数 $n$ 与分裂树中随机顶点数 $N$ 之间的精确关系。
• 通过量化超过 $\sqrt{\ln n}$ 的偏离，扩展对分裂树中深度波动的理解。

提出的方法

• 使用更新理论建模分裂树的随机生长过程，将深度增量视为更新过程。
• 应用更新奖励定理分析极端深度处顶点的期望数量。
• 利用更新过程框架推导深度偏离的集中界限，表明深度超过 $\frac{\ln n}{\mu} + \ln^{0.5+\epsilon}n$ 的概率迅速衰减。
• 在事件 $\Omega_L$ 下使用条件期望与方差分析，其中 $L = \lfloor \beta \log_b \ln n \rfloor$，以控制深度波动。
• 使用柯西-施瓦茨不等式与矩界控制子树中深度相关和的方差。
• 应用渐近展开与误差分解，推导出深度统计量的一阶方差表达式及高阶校正项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将更新理论应用于分析随机分裂树中的深度分布？
• RQ2 分裂树中顶点深度的精确尾部行为是什么，特别是对于 $\ln^{0.5+\epsilon}n$ 阶的偏离？
• RQ3 分裂树中 $n$ 个球深度方差的首个渐近表达式是什么？
• RQ4 随机顶点数 $N$ 与确定性球数 $n$ 之间有何关系？
• RQ5 高度为 $L = \lfloor \beta \log_b \ln n \rfloor$ 的子树上，深度相关和的渐近行为如何？

主要发现

• 对于任意 $\epsilon > 0$，深度 $\geq \frac{\ln n}{\mu} + \ln^{0.5+\epsilon}n$ 或 $\leq \frac{\ln n}{\mu} - \ln^{0.5+\epsilon}n$ 的顶点的期望数量为 $o(1)$，表明其在典型深度附近具有强集中性。
• 推导出分裂树中 $n$ 个球深度方差的首个渐近表达式，精确刻画了深度波动的特性。
• 对于任意 $\epsilon > 0$，顶点深度落在区间 $\left[\frac{\ln n}{\mu} - \ln^{0.5+\epsilon}n, \frac{\ln n}{\mu} + \ln^{0.5+\epsilon}n\right]$ 之外的概率随 $n \to \infty$ 趋近于零，证实了强集中性。
• 论文证明了 $\Gamma_n = n \sum_{\alpha \in S} \alpha b_{\alpha B} c_\alpha + o(\epsilon n)$，这意味着对深度区域中顶点期望数量的精确渐近表达式。
• 证明了 $\sum_{i=1}^{b^L} \frac{\Upsilon(T_i)}{\mu^{-2} \ln^2 n_i}$ 等于 $\sum_{i=1}^{b^L} \frac{\alpha n_i}{\mu^{-1} \ln n_i} + \frac{n \zeta}{\mu^{-2} \ln^2 n} + o_p\left(\frac{n}{\ln^2 n}\right)$，为加权深度和提供了更精细的渐近表达式。
• 证明了 $n$ 个球深度的方差渐近为 $\mathcal{O}(\ln n)$，并利用更新理论方法推导出精确的一阶项。