[论文解读] NP-Completeness of Hamiltonian Cycle Problem on Rooted Directed Path Graphs

B. S. Panda, Dinabandhu Pradhan|ArXiv.org|Sep 15, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过从最大度為3的二分圖中的哈密頓圈問題（NP完全）進行多項式時間歸約，解決了圖論中的一個開放問題，證明了根向有向路徑圖的哈密頓圈問題是NP完全的。作者從給定的二分圖構造出一個根向有向路徑圖，使得原圖中存在哈密頓圈當且僅當構造圖中存在哈密頓圈，從而確立了根向有向路徑圖類別的NP完全性。

ABSTRACT

The Hamiltonian cycle problem is to decide whether a given graph has a Hamiltonian cycle. Bertossi and Bonuccelli (1986, Information Processing Letters, 23, 195-200) proved that the Hamiltonian Cycle Problem is NP-Complete even for undirected path graphs and left the Hamiltonian cycle problem open for directed path graphs. Narasimhan (1989, Information Processing Letters, 32, 167-170) proved that the Hamiltonian Cycle Problem is NP-Complete even for directed path graphs and left the Hamiltonian cycle problem open for rooted directed path graphs. In this paper we resolve this open problem by proving that the Hamiltonian Cycle Problem is also NP-Complete for rooted directed path graphs.

研究动机与目标

• 解決根向有向路徑圖的哈密頓圈問題是否為NP完全的開放問題。
• 將先前關於無向與有向路徑圖類別的NP完全性結果，延伸至更具約束性的根向有向路徑圖類別。
• 提供從最大度為3的二分圖中哈密頓圈問題（NP完全）到根向有向路徑圖變體的多項式時間歸約。
• 確立即使限制在根向有向路徑圖上，該問題仍為NP完全，儘管其在2-分離點根向有向路徑圖的子類中可有多項式時間解法。

提出的方法

• 使用結構化的頂點與邊轉換，從給定的最大度為3的二分圖B構造出一個根向有向路徑圖G。
• 為G中的頂點定義最大團K_i、K'_j與K''_j，以模擬路徑結構與度數約束。
• 建立以K_1為根的RDP團樹T，其中G的每個頂點對應T中的一條有向路徑，並滿足根向有向路徑圖的團樹定理。
• 使用來自二分圖中最大度為3的哈密頓圈問題（Itai等人的工作）的歸約，轉換至根向有向路徑圖上的哈密頓圈問題。
• 透過j-區塊（包含A_ij、Y_j、Z_j等的序列）建立B與G之間的哈密頓圈的一一對應關係，以保持圈的結構。
• 證明該構造為多項式時間，且G中存在哈密頓圈當且僅當B中存在，從而證明NP完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 既然無向與有向路徑圖的哈密頓圈問題是NP完全的，根向有向路徑圖的哈密頓圈問題是否也是NP完全的？
• RQ2 能否從最大度為3的二分圖中哈密頓圈問題構造出至根向有向路徑圖變體的多項式時間歸約？
• RQ3 即使存在2-分離點根向有向路徑圖子類的多項式時間演算法，NP完全性結果是否依然成立？
• RQ4 根向有向路徑圖的結構能否被有效利用，以模擬最大度有界的二分圖的圈約束？

主要发现

• 根向有向路徑圖的哈密頓圈問題是NP完全的，解決了Narasimhan未解決的開放問題，並被Spinrad的工作列為開放問題。
• 從最大度為3的二分圖中NP完全問題到根向有向路徑圖的歸約是多項式時間可計算的，且保持哈密頓圈存在的性質。
• 透過團樹定理證明構造圖G確實為根向有向路徑圖，其中每個頂點的團集合在RDP團樹中形成一條有向路徑。
• 原二分圖B中存在哈密頓圈，當且僅當在構造的根向有向路徑圖G中存在哈密頓圈，此關係透過j-區塊結構與圈重構過程得以證明。
• 證明技術延續了先前用於無向與有向路徑圖的歸約方法，並針對根結構進行調整，設計精確的團樹與路徑表示。
• 結果確立根向有向路徑圖類別無法為哈密頓圈問題提供多項式時間解法，與其2-分離點子類別形成對比。