[论文解读] Numerical Solution of the Optimal Transportation Problem via viscosity solutions for the Monge-Ampere equation

Jean‐David Benamou, Brittany D. Froese+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于牛顿法的快速数值方法，用于使用紧凑有限差分格式求解具有最优传输（OT）边界条件的椭圆型蒙日-安培方程。该方法在计算效率上可与多次求解拉普拉斯方程相媲美，且在非凸域和不连通域上表现出稳健性能，包括奇异解。

ABSTRACT

A numerical method for the solution of the elliptic Monge-Ampere Partial Differential Equation, with boundary conditions corresponding to the Optimal Transportation (OT) problem is presented. A local representation of the OT boundary conditions is combined with a finite difference scheme for the Monge-Ampere equation. Newton's method is implemented leading to a fast solver, comparable to solving the Laplace equation on the same grid several times. Theoretical justification for the method is given by a convergence proof in the companion paper (Benamou et al., 2012). In this paper, the algorithm is modified to a simpler compact stencil implementation and details of the implementation are given. Solutions are computed with densities supported on non-convex and disconnected domains. Computational examples demonstrate robust performance on singular solutions and fast computational times.

研究动机与目标

• 开发一种用于最优传输问题中出现的蒙日-安培方程的高效数值求解器。
• 实现一种紧凑有限差分格式，以准确捕捉OT边界条件。
• 通过牛顿法实现快速收敛，其效率可与多次求解拉普拉斯方程相匹配。
• 将该方法扩展至处理具有奇异解的非凸和不连通域。
• 提供一种实用且可实现的算法，并辅以理论收敛性支持。

提出的方法

• 将最优传输边界条件的局部表示集成到蒙日-安培方程的有限差分离散化中。
• 采用紧凑星形有限差分格式，以在结构化网格上提高精度与稳定性。
• 对离散化产生的非线性系统应用牛顿法，以实现快速收敛。
• 调整方法以处理支持在非凸和不连通域上的密度。
• 在实现中对边界条件进行细致处理，以保持黏性解结构。
• 理论收敛性由配套证明（Benamou等，2012年）支持，确保方法的可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有OT边界条件的蒙日-安培方程开发一种快速且稳定的数值格式？
• RQ2 与标准星形格式相比，紧凑有限差分实现的精度与效率如何？
• RQ3 基于牛顿法的求解器是否能在奇异解和复杂域几何下保持高性能？
• RQ4 其计算成本与求解拉普拉斯方程相比如何？
• RQ5 当密度支持在非凸或不连通域上时，该方法是否仍保持稳健性？

主要发现

• 求解器的计算速度可与在相同网格上多次求解拉普拉斯方程相媲美。
• 该方法在具有奇点的解上表现出稳健性能，即使在具有挑战性的域构型下亦然。
• 成功计算了支持在非凸和不连通域上的密度的解。
• 与标准星形格式相比，紧凑星形格式实现提高了稳定性和精度。
• 该算法在各种测试用例中均保持快速收敛，包括具有不规则几何形状的情况。
• 理论收敛性由配套证明支持，验证了数值方法的有效性。