[论文解读] Okounkov bodies and Zariski decompositions on surfaces

Sung Rak Choi, Jinhyung Park+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文利用 Zariski 分解，对光滑射影曲面上伪有效除子的极限与赋值 Okounkov 体进行了完整的刻画。结果表明，Okounkov 体的形状由 Zariski 分解的正部与负部决定，并证明在大锥的每个 Minkowski 房间内，极限 Okounkov 体彼此相似，从而将凸几何与除子的渐近不变量联系起来。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to investigate the close relation between Okounkov bodies and Zariski decompositions of pseudoeffective divisors on smooth projective surfaces. Firstly, we completely determine the limiting Okounkov bodies on such surfaces, and give applications to Nakayama constants and Seshadri constants. Secondly, we study how the shapes of Okounkov bodies change as we vary the divisors in the big cone.

研究动机与目标

• 完全确定光滑射影曲面上伪有效除子的极限与赋值 Okounkov 体的结构。
• 将除子的几何不变量（如 Nakayama 常数与 Seshadri 常数）与 Okounkov 体的形状联系起来。
• 识别大锥的一个墙分解，使得在每个墙内，Okounkov 体的形状保持不变。
• 建立 Minkowski 房间分解与极限 Okounkov 体相似性之间的对应关系。

提出的方法

• 利用 Zariski 分解 $D = P + N$ 将伪有效除子分解，并分析由此产生的 Okounkov 体。
• 应用 Nakayama 常数与渐近基底簇的理论，根据交点 $P.C$ 与 Nakayama 常数 $\mu(D;C)$ 对极限 Okounkov 体的形状进行分类。
• 采用 Minkowski 基构造方法，对 nef 锥进行分解，并基于极小射线与与负曲线正交的 nef 除子定义 Minkowski 房间。
• 利用除子的 Minkowski 分解证明，在固定 Minkowski 房间内，极限 Okounkov 体彼此为标量倍数，因此相似。
• 应用凸几何技巧证明，极限 Okounkov 体 $\Delta^{\lim}_{C_\bullet}(D)$ 为线段或点，具体取决于 $\mu(D;C)$ 的取值。
• 依赖于假设 $\overline{\operatorname{Eff}}(S)$ 为有理多面体，且 $C$ 是某个非常 ample 线性系统的一般成员，以确保几何行为良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 在曲面上，伪有效除子的极限与赋值 Okounkov 体如何依赖于其 Zariski 分解？
• RQ2 当 $D$ 为伪有效但非大时，极限 Okounkov 体 $\Delta^{\lim}_{C_\bullet}(D)$ 的精确几何结构是什么？
• RQ3 在大锥内，极限 Okounkov 体在何种条件下于一个墙内保持相似？
• RQ4 Nakayama 常数与 Seshadri 常数如何通过 Okounkov 体的几何结构计算或刻画？
• RQ5 大锥的 Minkowski 房间分解与极限 Okounkov 体的相似性之间存在何种关系？

主要发现

• 对于伪有效除子 $D$，其极限 Okounkov 体 $\Delta^{\lim}_{C_\bullet}(D)$ 是其正部 $P$ 的体与依赖于负部 $N$ 沿 $C$ 的重数与零点阶的修正项的 Minkowski 和。
• 当 $P.C > 0$ 时，$P$ 的极限 Okounkov 体为长度为 $P.C$ 的竖直线段，且 $\dim(\Delta^{\lim}_{C_\bullet}(D)) = 1$，其体积等于 $P.C$。
• 当 $P.C = 0$ 且 $\mu(D;C) > 0$ 时，$P$ 的极限 Okounkov 体为有理斜率 $\operatorname{ord}_x(N'|_C)/\mu$ 的线段，且 $\dim(\Delta^{\lim}_{C_\bullet}(D)) = 1$。
• 对于 $\mathbb{Q}$-除子，极限 Okounkov 体为具有有理端点与有理斜率的线段，且每个非负有理斜率在某个曲面上均可实现。
• 在每个 Minkowski 房间 $M$ 内，所有属于 $M$ 的除子 $D_i$ 的极限 Okounkov 体彼此相似，这由 $D_i$ 对共同 Minkowski 基元素的 Minkowski 分解所证明。
• 除子的 Seshadri 常数可计算为极限 Okounkov 体的斜率，且无穷小极限 Okounkov 体完全由 Zariski 分解决定。