[论文解读] On a series of Gorenstein cyclic quotient singularities admitting a unique projective crepant resolution

Dimitrios I. Dais, Martin Henk|ArXiv.org|Mar 20, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用 4

一句话总结

该论文证明了类型为 $\frac{1}{l}(1,\dots,1,l-(r-1))$ 的 Gorenstein 循环商 singularities 在 $l \geq r \geq 2$ 时存在唯一的 torus-等变投影 Crepant 分解，当且仅当 $l \equiv 0$ 或 $1 \pmod{r-1}$ 时该分解为全的。例外除子由 $\lfloor l/(r-1) \rfloor$ 个素除子构成，其中 $\lfloor l/(r-1) \rfloor - 1$ 个是 $\mathbb{P}^{r-2}$ 上的 $\mathbb{P}^1$-丛的总空间，且该分解可表示为一系列可显式计算交点数的正规化 blow-up 的复合。

ABSTRACT

In this paper we prove that the Gorenstein cyclic quotient singularities of type \frac 1l (1,..., 1,l-(r-1)) with $l\geq r\geq 2$, have a extit{unique}torus-equivariant projective, crepant, partial resolution, which is ``full'' iff either $l\equiv 0$ mod $% (r-1) $ or $l\equiv 1$ mod $(r-1) $. As it turns out, if one of these two conditions is fulfilled, then the exceptional locus of the full desingularization consists of $\lfloor \frac{l}{r-1} floor$ prime divisors, $\lfloor \frac{l}{r-1} floor - 1$ of which are isomorphic to the total spaces of $\Bbb{P}_{\Bbb{C}}^1$-bundles over $\Bbb{P}_{\Bbb{C}%}^{r-2}$. Moreover, it is shown that intersection numbers are computable explicitly and that the resolution morphism can be viewed as a composite of successive (normalized) blow-ups. Obviously, the monoparametrized singularity-series of the above type contains (as its ``first member'') the well-known Gorenstein singularity defined by the origin of the affine cone which lies over the $r$-tuple Veronese embedding of $\Bbb{P}_{\Bbb{C}}^{r-1}$.

研究动机与目标

• 确定 Gorenstein 循环商奇点在何种条件下存在唯一的投影 Crepant 分解。
• 刻画此类分解中例外除子的结构，特别是其素除子的数量与类型。
• 证明分解态射可实现为一系列正规化 blow-up 的复合。
• 显式计算分解分量之间的交点数。
• 识别何时分解为“全的”，即以最大方式解决所有奇点。

提出的方法

• 作者利用 toric 几何与 torus-等变分解理论分析奇点类型 $\frac{1}{l}(1,\dots,1,l-(r-1))$。
• 采用逐次正规化 blow-up 的方法构造分解，证明其唯一且投影。
• 通过关联多面体分解上的组合与代数技术确定例外除子的结构。
• 利用 $\mathbb{P}^{r-2}$ 上的 $\mathbb{P}^1$-丛的几何性质，显式计算例外除子之间的交点数。
• 从 $l$ 对 $r-1$ 取模的同余条件推导出分解为“全的”的条件，具体为 $l \equiv 0$ 或 $1 \pmod{r-1}$。
• 证明构造与 torus 作用相容，从而保证等变性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，类型为 $\frac{1}{l}(1,\dots,1,l-(r-1))$ 的 Gorenstein 循环商奇点存在唯一的投影 Crepant 分解？
• RQ2 此类分解中例外除子的结构是怎样的，特别是其不可约分量的数量与类型？
• RQ3 分解态射如何分解为一系列基本操作（如正规化 blow-up）？
• RQ4 分解中例外除子之间的显式交点数是什么？
• RQ5 何时分解被视为“全的”，这与 $l$ 对 $r-1$ 取模的算术性质有何关联？

主要发现

• 对于满足 $l \geq r \geq 2$ 的 Gorenstein 循环商奇点 $\frac{1}{l}(1,\dots,1,l-(r-1))$，存在唯一的 torus-等变投影 Crepant 分解。
• 当且仅当 $l \equiv 0$ 或 $1 \pmod{r-1}$ 时，该分解为“全的”，即以最大方式解决所有奇点。
• 例外除子由 $\lfloor l/(r-1) \rfloor$ 个素除子构成，其中 $\lfloor l/(r-1) \rfloor - 1$ 个是 $\mathbb{P}^{r-2}$ 上的 $\mathbb{P}^1$-丛的总空间。
• 例外除子之间的交点数可显式计算，且依赖于丛结构与 $l$ 的取值。
• 分解态射可表示为一系列连续正规化 blow-up 的复合，从而提供了构造性且几何直观的描述。
• 该奇点系列的第一个成员对应于 $\mathbb{P}^{r-1}$ 的 $r$ 重 Veronese 嵌入的仿射锥，这是一个著名的 Gorenstein 奇点。