[论文解读] On an enhancement of the category of shifted L-infinity algebras

Vasily Dolgushev, Christopher L. Rogers|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文引入了一个对称单峰范畴 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$，该范畴通过完整递减滤子和涉及Maurer-Cartan元素及扭曲同态的‘增强’无穷同态，对带有平移的 $L_\infty$-代数进行了增强。证明了任何在此范畴上丰富的范畴均可积分至具有Kan复形映射空间的单纯范畴，从而为同伦代数的 $(\infty,1)$-范畴提供了完整的单纯模型。

ABSTRACT

We construct a symmetric monoidal category $LIE^{MC}$ whose objects are shifted L-infinity algebras equipped with a complete descending filtration. Morphisms of this category are "enhanced" infinity morphisms between shifted L-infinity algebras. We prove that any category enriched over $LIE^{MC}$ can be integrated to a simplicial category whose mapping spaces are Kan complexes. The advantage gained by using enhanced morphisms is that we can see much more of the simplicial world from the L-infinity algebra point of view. We use this construction in a subsequent paper to produce a simplicial model of a $(\infty,1)$-category whose objects are homotopy algebras of a fixed type.

研究动机与目标

• 构建一个对称单峰范畴 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$，以增强带有滤子和增强同态的平移 $L_\infty$-代数的范畴。
• 克服标准 $\infty$-同态的局限性，即仅保持平凡MC元素并限制单纯建模。
• 实现 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-丰富的范畴向具有Kan复形映射空间的单纯范畴的积分。
• 在后续工作中，为固定类型的同伦代数的 $(\infty,1)$-范畴提供一个单纯模型。

提出的方法

• ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$ 中的对象是带有完整递减滤子的平移 $L_\infty$-代数。
• 同态为对 $({\alpha}, F)$，其中 ${\alpha}$ 是目标中的Maurer-Cartan元素，$F$ 是到扭曲代数 ${\mathfrak{L}}^\alpha$ 的连续 $\infty$-同态。
• 该范畴被构造为对称单峰范畴，张量积通过直和及扩展 $\infty$-同态定义。
• 应用Getzler-Hinich构造，将 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-丰富的范畴积分至单纯范畴。
• 定义了一个从 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$ 到单纯集的强单峰函子 $\mathfrak{MC}_\bullet$，利用投射极限和移位映射。
• 函子 $\mathfrak{MC}_\bullet$ 保持复合与乘积，确保映射空间为Kan复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何增强平移 $L_\infty$-代数之间的 $\infty$-同态，以建模不保持平凡MC元素的更一般单纯映射？
• RQ2 能否构造一个带有滤子的平移 $L_\infty$-代数的对称单峰范畴，使得其丰富的范畴可积分至具有Kan复形映射空间的单纯范畴？
• RQ3 Maurer-Cartan元素和扭曲在扩展 $L_\infty$-代数同态的适用范围方面起到什么作用，以捕捉完整的单纯同伦类型？
• RQ4 增强同态结构如何允许对从点 $\Delta^0$ 出发的单纯映射进行建模？
• RQ5 固定类型的同伦代数范畴能否被建模为 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-丰富的范畴，从而为其 $(\infty,1)$-范畴提供一个单纯模型？

主要发现

• 范畴 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$ 被构造为带有增强同态（涉及MC元素和扭曲 $\infty$-同态）的滤子平移 $L_\infty$-代数的对称单峰范畴。
• 增强同态允许建模不保持平凡基点的单纯映射，例如从 $\Delta^0$ 出发的映射，通过 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}}({\mathbf{0}}, L) \cong \mathrm{MC}(L)$。
• 从 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$ 到单纯集的函子 $\mathfrak{MC}_\bullet$ 是强单峰的，并为丰富范畴中的映射空间分配Kan复形。
• 增强同态的复合在 $\mathfrak{MC}_\bullet$ 函子下被保持，确保单纯结构与复合相容。
• 该构造使得任何 ${\mathfrak{S}}\mathsf{Lie}_{\infty}^{\mathrm{MC}}$-丰富的范畴均可积分至映射空间为Kan复形的单纯范畴。
• 这为固定类型同伦代数的 $(\infty,1)$-范畴提供了单纯模型，如后续工作 [3] 所示。