[论文解读] On Arthur Merlin Games in Communication Complexity

Hartmut Klauck|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文通过一种新颖的“单边分歧”方法和模式矩阵技术，为内积和不相交等基础问题的QMA-通信复杂度建立了新的下界。研究证明，量子梅林-亚瑟协议无法高效模拟共非确定性或交互性，从而表明QMA严格强于MA，但在通信复杂度中仍不足以捕捉共-NP。

ABSTRACT

We show several results related to interactive proof modes of communication complexity. First we show lower bounds for the QMA-communication complexity of the functions Inner Product and Disjointness. We describe a general method to prove lower bounds for QMA-communication complexity, and show how one can 'transfer' hardness under an analogous measure in the query complexity model to the communication model using Sherstov's pattern matrix method. Combining a result by Vereshchagin and the pattern matrix method we find a communication problem with AM-communication complexity $O(\log n)$, PP-communication complexity $Ω(n^{1/3})$, and QMA-communication complexity $Ω(n^{1/6})$. Hence in the world of communication complexity noninteractive quantum proof systems are not able to efficiently simulate co-nondeterminism or interaction. These results imply that the related questions in Turing machine complexity theory cannot be resolved by 'algebrizing' techniques. Finally we show that in MA-protocols there is an exponential gap between one-way protocols and two-way protocols (this refers to the interaction between Alice and Bob). This is in contrast to nondeterministic, AM-, and QMA-protocols, where one-way communication is essentially optimal.

研究动机与目标

• 解决通信复杂度中关于QMA、AM和MA相对能力的开放问题。
• 为内积和不相交函数的QMA-通信复杂度建立下界。
• 研究非交互式量子证明系统是否能模拟交互式或共非确定性协议。
• 分析代数化技术在分离通信复杂度类时的局限性。
• 证明单向与双向MA-协议之间存在指数级差距，与其他复杂度类形成对比。

提出的方法

• 提出一种专为QMA-通信复杂度设计的新下界技术，称为“单边分歧”。
• 将Sherstov的模式矩阵方法适配，以将查询复杂度中的困难性转移至通信复杂度。
• 利用Vereshchagin关于AM复杂度低但PP复杂度高的问题的结果，推导出QMA下界。
• 在精心构造的分布ν下应用概率分析，以限制单向协议中的误差。
• 通过具有高距离的二元码的组合论证，限制单向矩形的误差。
• 利用1-输入中贡献有限的部分被移除的事实，以隔离协议矩形中的高误差区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 QMA-通信复杂度能否在通信复杂度中高效捕捉共-NP？
• RQ2 是否存在一个问题，其AM-通信复杂度为O(log n)，但QMA-通信复杂度为ω(n^{1/6})？
• RQ3 单向MA-协议是否可能比双向MA-协议指数级弱？
• RQ4 代数化技术是否足以解决通信复杂度中AM、QMA与PP之间的分离问题？
• RQ5 不相交问题的QMA-通信复杂度能否被下界为Ω(n^{1/3})？

主要发现

• 不相交问题的QMA-通信复杂度为Ω(n^{1/3})，表明在通信模型中，共-NP不包含于QMA。
• 模2内积问题的QMA-通信复杂度为Ω(√n)，且该下界基本紧致。
• 存在一个部分函数f，其AM-通信复杂度为O(log n)，PP-通信复杂度为Ω(n^{1/3})，QMA-通信复杂度为Ω(n^{1/6})。
• 对于一个困难问题，单向MA-协议需要Ω(n)通信，意味着单向与双向MA-协议之间存在指数级差距。
• 结果表明，依赖代数化技术的方法无法解决图灵机世界中AM与PP之间，或QMA与共-NP之间的关系。
• 单边分歧方法为证明QMA-通信复杂度的下界提供了一个通用框架，可适用于不相交和内积之外的其他函数。