[论文解读] On blowing up extremal Kähler manifolds

Gábor Székelyhidi|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文证明了在相对稳定点处对极小Kähler流形进行 blown up 后，在小的例外除子类中存在极小度量，从而推广了Arezzo-Pacard-Singer的结果。通过分析一个扰动的矩映射并使用有限维障碍理论，作者表明：若 blown up 点的 GIT 多稳定性成立，则当原流形为Kähler-Einstein时，blown up 流形上存在常数量曲率Kähler（cscK）度量。

ABSTRACT

We show that the blowup of an extremal Kahler manifold at a relatively stable point in the sense of GIT admits an extremal metric in Kahler classes that make the exceptional divisor sufficiently small, extending a result of Arezzo-Pacard-Singer. We also study the K-polystability of these blowups, sharpening a result of Stoppa in this case. As an application we show that the blowup of a Kahler-Einstein manifold at a point admits a constant scalar curvature Kahler metric in classes that make the exceptional divisor small, if it is K-polystable with respect to these classes.

研究动机与目标

• 将极小Kähler流形在blown up点处存在极小度量的结果推广到比以往已知更广泛的点类。
• 细化极小Kähler流形blown up的K-多稳定性条件，尤其关注原流形几何结构的关系。
• 建立Kähler-Einstein流形在blown up后在小例外除子类中存在常数量曲率Kähler（cscK）度量的条件。
• 通过矩映射和Futaki不变量分析，将代数几何中的稳定性（GIT多稳定性）与blown up上极小度量的存在性联系起来。

提出的方法

• 在blown up流形 $Bl_pM$ 上引入一个扰动度量 $ω_{p,\varepsilon}$，位于类 $\pi^*[ω] - \varepsilon^2[E]$ 中，并配合同一个向量场 $h_{p,\varepsilon} \in \mathfrak{g}$，使得极小性等价于 $h_{p,\varepsilon}$ 在点 $p$ 处消失。
• 定义一个映射 $h_\varepsilon: M \to \mathfrak{g}$，它是矩映射 $\mu$ 的扰动，从而将无穷维问题简化为一个有限维的零点条件。
• 使用扰动论证表明：若 $\mu(p) = 0$，则存在复化轨道 $G^c \cdot p$ 中的一点 $q$，使得 $h_\varepsilon(q) = 0$，从而推出 $Bl_qM$ 上存在极小度量。
• 应用Kempf-Ness定理和矩映射理论，将GIT多稳定性与 $\mu(p) + \delta \Delta \mu(p)$ 关于极化 $L + \delta K_M$ 的消失性联系起来。
• 通过在 $\varepsilon$ 上的渐近展开分析blown up上的Futaki不变量，表明当 $h(p) = \Delta h(p) = 0$ 时其消失。
• 利用引理28将里奇形式与矩映射的拉普拉斯算子联系起来，证明 $\mu(p) = 0$ 且 $\Delta \mu(p) = 0$ 意味着blown up上Futaki不变量消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，极小Kähler流形在某一点处的blown up会在小的例外除子类中存在极小度量？
• RQ2 blown up点的GIT多稳定性如何与blown up上常数量曲率Kähler度量的存在性相关？
• RQ3 是否能用原流形上矩映射条件来刻画blown up的K-多稳定性？
• RQ4 矩映射的拉普拉斯算子在决定blown up上Futaki不变量消失性方面起什么作用？
• RQ5 矩映射的扰动如何实现从无穷维问题到有限维障碍问题的约化？

主要发现

• 当 $\mu(p) = 0$ 时，极小Kähler流形在点 $p$ 处的blown up 在类 $\pi^*[ω] - \varepsilon^2[E]$ 中对足够小的 $\varepsilon > 0$ 存在极小度量。
• 当原流形为Kähler-Einstein且点 $p$ 为GIT多稳定时，blown up在小的例外除子类中存在常数量曲率Kähler（cscK）度量。
• 若 $h(p) = \Delta h(p) = 0$，其中 $h$ 是向量场的哈密顿函数，则blown up上任意全纯向量场的Futaki不变量在类 $\pi^*[ω] - \varepsilon[E]$ 中消失。
• 条件 $\mu(p) = 0$ 暗示对小的 $\delta$ 有 $\mu(p) + \delta \Delta \mu(p) = 0$，这表征了关于 $L + \delta K_M$ 的GIT多稳定性。
• 通过扰动矩映射，证明将极小度量的存在性约化为一个有限维问题，表明若 $\mu(p) = 0$，则 $h_\varepsilon$ 在 $p$ 的 $G^c$-轨道中某点处消失。
• 该结果通过证明点 $p$ 的GIT多稳定性蕴含小 $\varepsilon$ 下blown up的K-多稳定性，从而精炼了Stoppa对blown up的K-多稳定性结果。