[论文解读] On deformation of extremal metrics

Xiuxiong Chen, Mihai Păun+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 28

一句话总结

本文通过凯勒势空间中的连续路径，建立了极小化度量和常数量曲率凯勒（cscK）度量的形变定理。证明了若一个凯勒类中存在cscK度量，则沿扭曲cscK路径的邻近度量存在并收敛于通过全纯自同构相关的度量，从而为极小化度量模自同构的唯一性提供了新证明。

ABSTRACT

We generalize the bifurcation technique of Bando-Mabuchi in the context of extremal metrics.

研究动机与目标

• 在包含此类度量的凯勒类中，建立极小化度量与cscK度量的形变结果。
• 通过扭曲cscK路径，将阿宾与姚的连续方法推广至极小化度量的情形。
• 为极小化度量模全纯自同构的唯一性提供新证明。
• 分析扭曲K-能量在凯勒势空间中测地线上的行为及其凸性。

提出的方法

• 在凯勒势空间中使用参数为 t ∈ (1−ε, 1] 的连续路径，将度量形变为极小化或cscK度量。
• 引入由条件 ∇^{1,0}(R_φ − (1−t)tr_φω) 为全纯定义的扭曲极小化度量，其中 t ∈ (0,1)。
• 应用李希诺维奇算子 D_φ 线性化数量曲率方程，并研究线性化算子的核与像。
• 在 C^{k,α} 空间中使用 K-不变函数空间与正交分解，处理对称性与正则性问题。
• 利用修正K-能量 E_K 的弱凸性以及 J-泛函在 C^{1,1} 测地线上的严格凸性，建立唯一性。
• 依赖于先前工作中已确立的任意两个凯勒势之间存在 C^{1,1} 测地线的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在给定凯勒类中，通过势函数的连续路径将cscK度量形变为扭曲cscK度量？
• RQ2 极小化度量模全纯自同构的唯一性是否可由能量泛函在测地线上的凸性性质推出？
• RQ3 在给定极小化度量附近，扭曲极小化度量的空间在凯勒势空间中是否为开集？
• RQ4 在存在全纯向量场的情况下，修正K-能量在K-不变测地线上的行为如何？
• RQ5 能否通过引入扭曲参数 (1−t) 将连续方法适配至极小化度量？

主要发现

• 对于任意紧致凯勒流形，若其凯勒类中存在cscK度量，则存在光滑度量路径 φ_t ∈ H^∞(M)，t ∈ (1−ε,1]，使得每个 φ_t 满足扭曲cscK方程 R_φ − ūR − (1−t)(tr_φω − n) = 0。
• 极限度量 φ_1 通过全纯自同构 f 与原始cscK度量单位等价，即 ω_φ_1 = f^*ω_φ_0。
• 对于每个 t ∈ (0,1)，K-不变解空间在扭曲极小化度量方程下唯一，这是由于泛函 E_K + (1−t)ι 沿K-不变 C^{1,1} 测地线具有严格凸性。
• 通过凸性技巧与连续路径，重新证明了极小化度量模全纯自同构的唯一性，证实了一个长期存在的猜想。
• 在解处线性化极小化度量方程时，K-不变函数空间存在明确定义的正交分解，从而可应用隐函数定理。