[论文解读] On graphs with no induced five-vertex path or paraglider

Shenwei Huang, T. Karthick|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文证明了 (P₅, paraglider)-free 图满足 χ(G) ≤ ⌈3ω(G)/2⌉，首次为该类图建立了紧致的 χ-绑定函数。该界在加法常数意义下是最优的，因为存在一个无限图族使得 χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ − 1，且 Clebsch 图的补图达到等号，从而证明了紧致性。

ABSTRACT

Given two graphs $H_1$ and $H_2$, a graph is $(H_1,\,H_2)$-free if it contains no induced subgraph isomorphic to $H_1$ or $H_2$. For a positive integer $t$, $P_t$ is the chordless path on $t$ vertices. A paraglider is the graph that consists of a chorless cycle $C_4$ plus a vertex adjacent to three vertices of the $C_4$. In this paper, we study the structure of ($P_5$, paraglider)-free graphs, and show that every such graph $G$ satisfies $χ(G)\le \lceil \frac{3}{2}ω(G) ceil$, where $χ(G)$ and $ω(G)$ are the chromatic number and clique number of $G$, respectively. Our bound is attained by the complement of the Clebsch graph on 16 vertices. More strongly, we completely characterize all the ($P_5$, paraglider)-free graphs $G$ that satisfies $χ(G)> \frac{3}{2}ω(G)$. We also construct an infinite family of ($P_5$, paraglider)-free graphs such that every graph $G$ in the family has $χ(G)=\lceil \frac{3}{2}ω(G) ceil-1$. This shows that our upper bound is optimal up to an additive constant and that there is no $(\frac{3}{2}-ε)$-approximation algorithm to the chromatic number of ($P_5$, paraglider)-free graphs for any $ε>0$.

研究动机与目标

• 确定 (P₅, paraglider)-free 图中色数的行为，该类图禁止 P₅ 和 paraglider 作为诱导子图。
• 为该类图建立一个紧致的 χ-绑定函数，改进已知的 P₅-free 及相关图类的界。
• 表征所有超过界 χ(G) ≤ 3ω(G)/2 的 (P₅, paraglider)-free 图。
• 通过构造一个无限图族使得 χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ − 1，证明该界的最优性。
• 排除该类图中存在 (3/2 − ε)-近似算法求解色数的可能性。

提出的方法

• 利用禁止子图表征与分解技术，对 (P₅, paraglider)-free 图进行结构分析。
• 应用基于团割点、通用顶点与良好稳定集的结构定理，将问题简化为更小的子组件。
• 在不属例外类 G 的子图上使用归纳法，结合已知的子图界。
• 构造一个无限图族 Gₖ，其满足 α(Gₖ) = 2 且 ω(Gₖ) = k+1，用于测试界之紧致性。
• 通过组合论证与计算机辅助验证，确认 Clebsch 图的补图及其顶点删除变体是唯一达到 χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ 且需取上界的诱导子图。
• 通过分情况讨论图的各组件，考虑其是否属于例外类 G，并基于团数与色数应用相应界。

实验结果

研究问题

• RQ1 (P₅, paraglider)-free 图的最紧致 χ-绑定函数是什么？
• RQ2 哪些 (P₅, paraglider)-free 图满足 χ(G) > 3ω(G)/2？
• RQ3 界 χ(G) ≤ ⌈3ω(G)/2⌉ 是否可改进，或仅在加法常数意义下最优？
• RQ4 存在图族使得 χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ − 1 是否意味着对色数的多项式时间近似存在限制？
• RQ5 是否仅有有限多个 (P₅, paraglider)-free 图达到 χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ 的等号？

主要发现

• 每个 (P₅, paraglider)-free 图 G 均满足 χ(G) ≤ ⌈3ω(G)/2⌉，为该类图建立了紧致的 χ-绑定函数。
• 16 个顶点的 Clebsch 图的补图是极值例子，其中 χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉，达到等号。
• 存在一个无限图族 (P₅, paraglider)-free 图 Gₖ，满足 ω(Gₖ) = k+1 且 χ(Gₖ) = ⌈3(k+1)/2⌉ − 1，证明该界在加法常数意义下最优。
• 对于任意 ε > 0，(P₅, paraglider)-free 图的色数不存在 (3/2 − ε)-近似算法，原因在于存在无限图族使得 χ(G) = ⌈3ω(G)/2⌉ − 1。
• 唯一满足 χ(G) > 3ω(G)/2 的 (P₅, paraglider)-free 图是那些包含例外类 G 中满足 ω(G) ≤ 5 的连通分量的图。
• 任意 (P₅, paraglider)-free 图的色数由其各连通分量的最大值所界定，且该界对非连通图也成立。