[论文解读] On groupoids with involutions and their cohomology

El-kaïoum M. Moutuou|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文为带有对合的局部紧群胚引入了实Čech上同调（$̌heck{H}R^\ast$），将分次扩张和上同调分类理论推广至实设置。它建立了实群胚 $C^\ast$-动力系统上的上同调框架，并将Crainic关于恰当李群胚微分上同调的结果推广至拓扑恰当实群胚，证明了实表示下高阶上同调的消失性。

ABSTRACT

We extend the definitions and main properties of graded extensions to the category of locally compact groupoids endowed with involutions. We introduce Real Čech cohomology, which is an equivariant-like cohomology theory suitable for the context of groupoids with involutions. The Picard group of such a groupoid is discussed and is given a cohomological picture. Eventually, we generalize Crainic's result, about the differential cohomology of a proper Lie groupoid with coefficients in a given representation, to the topological case.

研究动机与目标

• 将分次扩张和上同调理论推广至配备对合的群胚。
• 将实Čech上同调（$\check{H}R^\ast$）定义为实群胚的类似等变上同调理论。
• 为带有对合的 $C^\ast$-动力系统中的Dixmier-Douady不变量提供上同调解释。
• 将Crainic关于恰当李群胚微分上同调的结果推广至拓扑恰当实群胚的情形。

提出的方法

• 将实群胚定义为配备严格、2-周期性同胚 $\rho$ 且满足 $\rho^2 = \text{id}$ 的群胚。
• 引入实群胚 $\mathcal{G}$ 关于实阿贝尔群 $\mathrm{S}$ 的实分次扩张，构成群 $\widehat{\operatorname{Ext}R}(\mathcal{G}, \mathrm{S})$。
• 通过具有实结构相容性的单纯空间的Čech上同调构造实Čech上同调 $\check{H}R^\ast$。
• 在实Čech复形上构造一个收缩映射 $h^\star$，以证明恰当群胚的正合性。
• 利用实结构定义实表示 $F = E \oplus E$，其中 $\nu(e_1, e_2) = (e_1, -e_2)$，以建立 $\check{H}R^n$ 与标准上同调之间的联系。
• 证明在恰当性条件下，$\check{H}R^n(\mathcal{G}_\bullet, F^\bullet) = 0$ 对所有 $n \geq 1$ 成立，从而推出标准上同调的消失性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将分次扩张和上同调理论推广至带有对合的群胚？
• RQ2 何种适当的上同调理论能够对带有对合的实群胚 $C^\ast$-动力系统进行分类？
• RQ3 Crainic关于恰当李群胚微分上同调的结果是否可推广至拓扑恰当实群胚？
• RQ4 实Čech上同调 $\check{H}R^\ast$ 是否表现如 ${\mathbb{Z}}_2$-等变理论一般的行为？若否，其差异何在？
• RQ5 能否通过适当的实表示将恰当群胚高阶上同调的消失性推广至实设置？

主要发现

• 实Čech上同调 $\check{H}R^\ast$ 为满足 $\overline{\delta(A)} = \tau^*\delta(A)$ 的 $2$-上循环提供了上同调分类，适用于带有对合的 $C^\ast$-动力系统。
• 群 $\widehat{\operatorname{Ext}R}(\mathcal{G}, \mathrm{S})$ 分类了实群胚 $\mathcal{G}$ 上实分次 $\mathrm{S}$-中心扩张的等价类。
• 在实Čech复形上构造了收缩映射 $h^\star$，证明了对所有 $n \geq 1$ 有 $h^n \circ d^n + d^{n-1} \circ h^{n-1} = \text{id}$，从而确立了正合性。
• 对于恰当群胚 $\mathcal{G}$，当 $E$ 是实 $\mathcal{G}$-等变向量丛时，上同调 $\check{H}^n(\mathcal{G}_\bullet, E^\bullet)$ 对所有 $n \geq 1$ 均消失。
• 在恰当性条件下，$\check{H}R^n(\mathcal{G}_\bullet, F^\bullet)$ 对所有 $n \geq 1$ 的消失性，通过实表示 $F = E \oplus E$ 且 $\nu(e_1, e_2) = (e_1, -e_2)$ 推出 $\check{H}^n(\mathcal{G}_\bullet, E^\bullet) = 0$。
• 尽管实Čech上同调表现出类似等变理论的行为，但它并非真正的 ${\mathbb{Z}}_2$-等变上同调理论。