[论文解读] On homotopy invariance for algebras over colored PROPs

Mark Johnson, Donald Yau|ArXiv.org|May 29, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 29

一句话总结

本文在对称单幕模型范畴上建立了彩色PROPs及其代数的投影模型范畴结构，证明了关于可换彩色PROPs的代数具有同伦不变性。该工作将Boardman-Vogt的同伦不变性结果推广至彩色PROPs，表明同伦拓扑共形场论是同伦不变的结构。

ABSTRACT

Over a monoidal model category, under some mild assumptions, we equip the categories of colored PROPs and their algebras with projective model category structures. A Boardman-Vogt style homotopy invariance result about algebras over cofibrant colored PROPs is proved. As an example, we define homotopy topological conformal field theories and observe that such structures are homotopy invariant.

研究动机与目标

• 在对称单幕模型范畴中发展彩色PROPs及其代数的同伦理论。
• 将Boardman-Vogt的同伦不变性结果从操作符推广至彩色PROPs。
• 在彩色操作符与彩色PROPs的模型范畴之间建立Quillen等价。
• 证明关于可换彩色PROPs的代数在弱等价下是同伦不变的。
• 定义并研究同伦拓扑共形场论作为同伦不变的结构。

提出的方法

• 通过逐项纤维化和弱等价性，将基范畴 $\mathcal{E}$ 上的模型范畴结构上移到 $\mathfrak{C}$-彩色PROPs范畴上。
• 使用共交换区间或函子路径数据构造路径对象，借助Lifting Lemma 实现模型结构的上移。
• 通过左Kan扩张和 $\boxdot$ 连接运算，定义从 $\mathfrak{C}$-彩色操作符到 $\mathfrak{C}$-彩色PROPs的左伴随函子 $(-)_{\text{prop}}$。
• 证明伴随对 $((-)_{\text{prop}}, U)$ 是Quillen对，并在修改后的投影结构下成为Quillen等价。
• 通过分次对象的自同态PROPs定义彩色PROP上代数的范畴。
• 利用左Kan扩张的普遍性质，定义与操作符相关的PROPs中的竖直与水平复合运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对称单幕模型范畴 $\mathcal{E}$ 上，$\mathfrak{C}$-彩色PROPs的范畴在何种条件下允许具有投影模型范畴结构？
• RQ2 如何将Boardman-Vogt的同伦不变性原理从操作符推广至彩色PROPs？
• RQ3 彩色操作符的同伦理论与彩色PROPs的同伦理论之间存在何种关系？
• RQ4 关于可换彩色PROPs的代数在弱等价下是否具有同伦不变性？
• RQ5 是否可以定义同伦拓扑共形场论，并证明其为同伦不变结构？

主要发现

• 在对 $\mathcal{E}$ 的适度假设下，$\mathfrak{C}$-彩色PROPs的范畴 $\mathbf{PROP}^{\mathfrak{C}}_{\mathcal{E}}$ 具有强可生成的模型范畴结构，其纤维化与弱等价性在 $\mathcal{E}$ 中逐项定义。
• 彩色操作符与彩色PROPs之间的伴随对 $((-)_{\text{prop}}, U)$ 是Quillen对，且在修改后的投影结构下为Quillen等价。
• 关于可换彩色PROPs的代数具有同伦不变性，即PROPs之间的弱等价诱导其代数范畴之间的弱等价。
• $\mathfrak{C}$-彩色PROP $\mathsf{O}_{\text{prop}}$ 上的代数范畴与 $\mathsf{O}$-代数的范畴等价，其中 $\mathsf{O}_{\text{prop}}$ 是由 $\mathfrak{C}$-彩色操作符 $\mathsf{O}$ 关联的。
• 作为特定彩色PROP上代数定义的同伦拓扑共形场论，是同伦不变的结构。
• 构造 $\mathsf{O}_{\text{prop}}$ 保持了原始操作符 $\mathsf{O}$ 的同伦理论，且在伴随关系下相关代数是等价的。