[论文解读] Notes on string topology

Ralph L. Cohen, Alexander A. Voronov|ArXiv.org|Mar 28, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 55被引用 31

一句话总结

本文對弦拓撲提供了全面介紹，建立了流形的環路空間同調與BV代數、Gerstenhaber代數等代數結構之間的深刻聯繫。研究證明，自由環路空間 $LM$ 的同調透過Chas-Sullivan環路乘積攜帶Batalin-Vilkovisky（BV）結構，並進一步表明，球面空間 $X^{S^n}$ 的同調同 $n$ 重環路空間的Hochschild同調同構，從而將拓撲場論、操縱子（特別是仙人掌操縱子）與代數拓撲統一起來。

ABSTRACT

This paper is an exposition of the new subject of String Topology. We present an introduction to this exciting new area, as well as a survey of some of the latest developments, and our views about future directions of research. We begin with reviewing the seminal paper of Chas and Sullivan, which started String Topology by introducing a BV-algebra structure on the homology of a loop space of a manifold, then discuss the homotopy theoretic approach to String Topology, using the Thom-Pontrjagin construction, the cacti operad, and fat graphs. We review quantum field theories and indicate how string topology fits into the general picture. Other topics include an open-closed version of string topology, a Morse theoretic interpretation, relation to Gromov-Witten invariants, and "brane'' topology, which deals with sphere spaces. The paper is a joint account of the lecture series given by each of us at the 2003 Summer School on String Topology and Hochschild Homology in Almeria, Spain.

研究动机与目标

• 將弦拓撲作為連結代數拓撲、微分拓撲與數學物理的新領域進行介紹。
• 利用Chas-Sullivan環路乘積，在自由環路空間 $LM$ 的同調上建立BV代數結構。
• 透過仙人掌操縱子，將弦拓撲運算與拓撲共形場論及黎曼曲面的模空間關聯起來。
• 將框架推廣至高維球面，並建立 $X^{S^n}$ 的同調與 $C_*ig(igwedge^n Xig)$ 的 $n$ 重環路空間Hochschild同調之間的關係。
• 從Morse理論觀點探討余切叢上的能量泛函，以建立弦拓撲與Gromov-Witten理論的關係。

提出的方法

• 利用Chas-Sullivan環路乘積在 $H_*(LM)$ 上定義BV代數結構，其源自環路空間中的交點理論。
• 應用仙人掌操縱子來模擬黎曼曲面模空間在環路空間上的作用，為弦拓撲運算提供幾何實現。
• 透過研究 $LM$ 上的能量泛函，採用Morse理論觀點，將梯度流線與弦拓撲運算關聯。
• 構造半自由球面空間 $X^{S^n}_0$ 與完整球面空間 $X^{S^n}$ 之間的同倫等價，使標準同倫理論工具得以應用。
• 使用奇異上鏈與Hochschild同調，將 $X^{S^n}$ 的同調與 $C_*far{rak{D}}^n$-代數 $C_*ig(igwedge^n Xig)$ 的Hochschild同調關聯起來。
• 運用操縱子與PROPs形式化弦拓撲背後的代數結構，包括 $n$-代數及其上同調性質。

实验结果

研究问题

• RQ1 Chas-Sullivan環路乘積如何被解釋為自由環路空間同調上的Batalin-Vilkovisky（BV）結構？
• RQ2 仙人掌操縱子在將弦拓撲運算實現為環路空間上的作用時扮演何種角色？
• RQ3 對 $LM$ 上能量泛函的Morse理論觀點如何與 $T^*M$ 的Gromov-Witten不變量相關？
• RQ4 $X^{S^n}$ 的同調與 $n$ 重環路空間的Hochschild同調之間的精確關係為何？
• RQ5 Kontsevich的Hochschild上同調猜想能否透過弦拓撲構造實現？

主要发现

• 封閉且定向的流形的自由環路空間 $LM$ 的同調，透過Chas-Sullivan環路乘積自然攜帶Batalin-Vilkovisky（BV）代數結構。
• 仙人掌操縱子作用於環路空間 $LM$，為弦拓撲中的代數運算提供幾何模型，並透過黎曼曲面的模空間實現BV結構。
• 對於路連通的CW複形，包含映射 $X^{S^n}_0 o X^{S^n}$ 是同倫等價，使在同倫計算中可用完整球面空間取代半自由球面空間。
• $C_*^{(n)}(C_*ig(igwedge^n Xig), C_*ig(igwedge^n Xig))$ 的Hochschild鏈複形與奇異上鏈複形 $C_*ig(X^{S^n}_0ig)$ 同倫等價。
• $H_*^{(n)}(C_*ig(igwedge^n Xig), C_*ig(igwedge^n Xig))$ 同調同構於 $H_*(X^{S^n}_0; bZ)$，因此也同構於 $H_*(X^{S^n}; bZ)$。
• 本文提供了Kontsevich猜想在Hochschild上同調上的拓撲實現，表明 $n$-代數的Hochschild $n$-同調自然為 $(n+1)$-代數，這在 $H_*(X^{S^n})$ 與 $igwedge^n X$ 的Hochschild同調之間的同構中得到體現。