[论文解读] On homotopy Lie bialgebroids

Denis Bashkirov, Alexander A. Voronov|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文通过在分次流形上的哈密顿方法，将李双胚体（Lie bialgebroids）推广为同伦理论（homotopy-theoretic）的 $L_{\nu}$-双胚体（$L_{\nu}$-bialgebroids）。通过在移位余切丛上哈密顿函数的相容性定义了 $L_{\nu}$-态射（$L_{\nu}$-morphisms），将克罗夫琴科（Kravchenko）的 $L_{\nu}$-双代数（$L_{\nu}$-bialgebras）概念推广至几何设定，并为泊松几何中的高阶辛结构提供了导出几何框架。

ABSTRACT

A well-known result of A. Vaintrob characterizes Lie algebroids and their morphisms in terms of homological vector fields on supermanifolds. We give an interpretation of Lie bialgebroids and their morphisms in terms of odd symplectic dg-manifolds, building on the approach of D. Roytenberg. This extends naturally to the homotopy Lie case and leads to the notion of $L_\infty$-bialgebroids and $L_\infty$-morphisms between them.

研究动机与目标

• 通过导出几何与分次流形，将李双胚体推广至同伦李（即 $L_{\nu}$）设定。
• 将罗伊滕伯格（Roytenberg）对李双胚体的哈密顿方法推广至 $L_{\nu}$-背景。
• 通过在移位余切丛上哈密顿函数的相容性，定义 $L_{\nu}$-双胚体之间的 $L_{\nu}$-态射。
• 将克罗夫琴科的 $L_{\nu}$-双代数概念作为在一点上的特例予以恢复。
• 为导出泊松几何中的态射提供一个框架，尤其关注 $L_{\nu}$-结构。

提出的方法

• 使用奇辛形式的微分分次流形上的哈密顿方法，通过满足Maurer-Cartan方程的三度数哈密顿函数来刻画 $L_{\nu}$-双胚体。
• 在 $V^*[1] \oplus V[1]$ 上应用大括号构造，将 $L_{\nu}$-双代数结构编码为 $\{\chi, \chi\} = 0$ 的解。
• 通过 $V[1]$ 与 $W[1]$ 上函数代数之间的拉回与泰勒展开映射来定义 $L_{\nu}$-态射，确保与哈密顿函数的相容性。
• 在具有一个次数为一的微分的光滑分次流形范畴中工作，使用对称代数 $S(V^*)$ 作为光滑函数代数。
• 依赖于 $T^*[2]V[1]$ 与 $V^*[1] \oplus V[1]$ 的识别，将哈密顿函数解释为在 $V[1]$ 的对称幂上的多线性算子。
• 采用 $L_{\nu}$-代数的代数形式化表述，即由满足 $\{\chi, \chi\} = 0$ 的三度数算子 $\chi \in \prod_{m,n \geq 1} \operatorname{Hom}(S^m(V[1]), S^n(V[-1]))$ 构成。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过导出几何将李双胚体推广至同伦李（homotopy Lie）设定？
• RQ2 在 $L_{\infty}$-双胚体之间，$L_{\infty}$-态射的正确概念是什么？
• RQ3 分次流形上的哈密顿形式如何推广至 $L_{\infty}$-双胚体？
• RQ4 克罗夫琴科的 $L_{\infty}$-双代数概念能否作为 $L_{\infty}$-双胚体在一点上的特例被恢复？
• RQ5 大括号与Maurer-Cartan方程在编码 $L_{\infty}$-双代数结构中起什么作用？

主要发现

• 本文在 $T^*[2]V[1]$ 上构造了 $L_{\infty}$-双胚体，作为满足Maurer-Cartan方程 $\{\chi, \chi\} = 0$ 的三度数哈密顿函数，从而推广了李双胚体。
• $L_{\infty}$-双胚体之间的 $L_{\infty}$-态射由一个态射 $f: V[1] \to S(W[1])$ 定义，使得 $\chi_V \circ f^* \circ T = f^* \circ T \circ \chi_W$，从而保证与哈密顿函数的相容性。
• 当基流形为一点时，$L_{\infty}$-双胚体结构退化为克罗夫琴科的 $L_{\infty}$-双代数概念。
• 通过满足 $\{\chi, \chi\} = 0$ 的三度数算子 $\chi \in \prod_{m,n \geq 1} \operatorname{Hom}(S^m(V[1]), S^n(V[-1]))$ 的代数表述被恢复，其中大括号编码了运算。
• 该框架为 $L_{\infty}$-双代数及其态射提供了导出几何解释，将经典的泊松几何图像推广至更高同伦结构。
• 本文建立了 $L_{\infty}$-双胚体设定下态射的一致框架，首次在该背景下定义了 $L_{\infty}$-态射。