[论文解读] On multi F-nomial coefficients and Inversion formula for F-nomial coefficients

Maciej Dziemiańczuk|ArXiv.org|Jun 23, 2008

semigroups and automata theory参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文在cobweb偏序集框架下，将F-多项式系数推广为多F-多项式系数，提供了其作为分层偏序集中最大不相交块数的组合解释。推导出适用于所有F-cobweb可接受序列的通用反演公式，统一了二项式、高斯和斐波那契多项式系数的已知结果，并通过此广义框架实现了新恒等式的推导。

ABSTRACT

In response to [6], we discover the looked for inversion formula for F-nomial coefficients. Before supplying its proof, we generalize F-nomial coefficients to multi F-nomial coefficients and we give their combinatorial interpretation in cobweb posets language, as the number of maximal-disjoint blocks of the form sP_{k_1,k_2,...,k_s} of layer Phi_n>. Then we present inversion formula for F-nomial coefficients using multi F-nomial coefficients for all cobweb-admissible sequences. To this end we infer also some identities as conclusions of that inversion formula for the case of binomial, Gaussian and Fibonomial coefficients.

研究动机与目标

• 将F-多项式系数推广为多F-多项式系数，以增强其在组合数学中的适用性。
• 以cobweb偏序集中最大不相交块的形式，提供多F-多项式系数的组合解释。
• 为所有F-cobweb可接受序列推导出F-多项式系数的通用反演公式。
• 统一并推广已知的二项式、高斯和斐波那契多项式系数的反演恒等式。
• 建立第一类与第二类Whitney数与所推导反演公式之间的联系。

提出的方法

• 通过公式 ${n\brace k_1,k_2,\textellipsis,k_s}_F = \frac{n_F!}{(k_1)_F! \cdot (k_2)_F! \cdot \textellipsis \cdot (k_s)_F!}$ 引入多F-多项式系数，其中 $n$ 被分解为 $s$ 个正整数之和。
• 提供组合解释：在cobweb偏序集的层 $\langle \Phi_1 \to \Phi_n \rangle$ 中，最大不相交等势副本 $\sigma P_{k_1,k_2,\textellipsis,k_s}$ 的数量。
• 定义满足 $n_F = \sum_{j=1}^s \lambda_{k_j} \cdot (k_j)_F$ 的 $F$-cobweb可接受序列，其中系数 $\lambda_{k_j}$ 确保多F-多项式系数为自然数。
• 通过组合的容斥原理推导反演公式，证明 $\sum_{j=1}^{n-k-1} (-1)^j \sum_{\substack{k_1+\cdots+k_{j+1}=n-k \\ k_i \geq 1}} {n \brace k,k_1,\textellipsis,k_{j+1}}_F + \text{符号调整和} = 0$。
• 将反演公式应用于第一类与第二类Whitney数，建立其与多项式序列的关系：$\Phi_n(x) = \sum_k {n \brace k}_F^{-1} x^k \Leftrightarrow x^n = \sum_k {n \brace k}_F \Phi_k(x)$。
• 验证特定序列下的公式：自然数序列（$n_F = n$）、高斯整数序列（$n_F = \frac{1-q^n}{1-q}$）和斐波那契数列（$n_F = F_n$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在cobweb偏序集的背景下，F-多项式系数如何推广为多F-多项式系数？
• RQ2 多F-多项式系数在cobweb偏序集中最大不相交块方面的组合意义是什么？
• RQ3 能否为所有F-cobweb可接受序列推导出F-多项式系数的通用反演公式？
• RQ4 所推导的恒等式如何恢复或推广已知的二项式、高斯和斐波那契多项式系数结果？
• RQ5 从反演公式中产生哪些多项式序列？能否为它们推导出闭式表达？

主要发现

• 多F-多项式系数 ${n \brace k_1,k_2,\textellipsis,k_s}_F$ 表示cobweb偏序集层 $\langle \Phi_1 \to \Phi_n \rangle$ 中最大不相交等势副本 $\sigma P_{k_1,k_2,\textellipsis,k_s}$ 的数量。
• F-多项式系数的反演公式为 $\sum_{j=1}^{n-k-1} (-1)^j \sum_{\substack{k_1+\cdots+k_{j+1}=n-k \\ k_i \geq 1}} {n \brace k,k_1,\textellipsis,k_{j+1}}_F + \text{符号调整和} = 0$，对所有F-cobweb可接受序列均成立。
• 对于自然数序列（$n_F = n$），其逆为 ${n \brace k}_F^{-1} = (-1)^{n-k} {n \choose k}$，恢复经典二项式反演。
• 对于高斯序列（$n_F = \frac{1-q^n}{1-q}$），其逆为 ${n \brace k}_F^{-1} = (-1)^{n-k} {n \choose k}_q q^{\binom{n-k}{2}}$，推广了高斯二项式反演。
• 对于斐波那契序列（$n_F = F_n$），反演公式生成显式多项式 $\Phi_n(x)$，其中 $\Phi_0(x)=1$，$\Phi_1(x)=x-1$，$\Phi_2(x)=x^2-x$，$\Phi_3(x)=x^3-2x^2+1$，依此类推，但其闭式表达尚不明确。
• 反演公式统一了Whitney数恒等式，表明在满足 $W_{ij}$ 为F-多项式系数、$w_{ij}$ 为其符号逆的偏序集中，有 $\left[W_{ij}\right] \ast \left[w_{ij}\right] = \delta_{i,j}$。