[论文解读] On Rainbow-$k$-Connectivity of Random Graphs

Jing He, Hongyu Liang|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文在 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 中建立了彩虹-$k$-连通性的精确阈值函数，表明当 $k \leq O(\log n)$ 且 $d \geq 2$ 时，$p = (\log n)^{1/d}/n^{(d-1)/d}$ 是 $rc_k(G(n,p)) \leq d$ 的精确阈值。此外，本文提出了一种多项式时间算法，以高概率实现近乎最优的彩虹-$k$-连通性，使用的颜色数至多比最优值多一个。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph is called a \emph{rainbow path} if all edges on it have pairwise distinct colors. For $k\geq 1$, the \emph{rainbow-$k$-connectivity} of a graph $G$, denoted $rc_k(G)$, is the minimum number of colors required to color the edges of $G$ in such a way that every two distinct vertices are connected by at least $k$ internally disjoint rainbow paths. In this paper, we study rainbow-$k$-connectivity in the setting of random graphs. We show that for every fixed integer $d\geq 2$ and every $k\leq O(\log n)$, $p=\frac{(\log n)^{1/d}}{n^{(d-1)/d}}$ is a sharp threshold function for the property $rc_k(G(n,p))\leq d$. This substantially generalizes a result due to Caro et al., stating that $p=\sqrt{\frac{\log n}{n}}$ is a sharp threshold function for the property $rc_1(G(n,p))\leq 2$. As a by-product, we obtain a polynomial-time algorithm that makes $G(n,p)$ rainbow-$k$-connected using at most one more than the optimal number of colors with probability $1-o(1)$, for all $k\leq O(\log n)$ and $p=n^{-ε(1\pm o(1))}$ for some constant $ε\in[0,1)$.

研究动机与目标

• 确定随机图 $G(n,p)$ 中彩虹-$k$-连通性的精确阈值函数，拓展此前关于彩虹连通性（$k=1$）的研究结果。
• 将已知的 $rc_1(G(n,p)) \leq 2$ 的阈值 $p = \sqrt{\log n / n}$ 推广至更高的连通度水平 $k \leq O(\log n)$ 和一般 $d \geq 2$ 的情形。
• 设计一种高效算法，以高概率生成使用至多比最优值多一个颜色的彩虹-$k$-连通着色。
• 分析随机图的结构特性，揭示其支持任意两点间存在多条内部点不相交的彩虹路径的原因。

提出的方法

• 构建一棵以顶点 $u$ 为根的深度为 $d$ 的树 $T$，使得第 $i$ 层包含 $\sim (pn/10)^i$ 个顶点，以模拟潜在的彩虹路径。
• 通过切尔诺夫-霍夫丁不等式进行概率分析，证明目标顶点 $v$ 以高概率在 $T$ 的第 $d$ 层拥有 $\Omega(\log n)$ 个邻居。
• 将‘副树’定义为以第一层顶点为根的子树，以确保路径的边不相交，从而实现内部点不相交的彩虹路径构造。
• 应用并集界法，证明任意副树中不包含 $v$ 的过多邻居，从而保证路径起源的多样性，实现路径的独立性。
• 采用 $d$ 种颜色的随机边着色，并证明当 $p$ 超过阈值时，此类着色以高概率实现彩虹-$k$-连通性。
• 利用已知的阈值函数和渐近集中性结果，证明当 $p$ 落在指定范围内时，$rc_k(G(n,p)) = d$ 以高概率成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k$ 随 $n$ 对数增长且 $d \geq 2$ 固定时，$rc_k(G(n,p)) \leq d$ 的精确阈值函数是什么？
• RQ2 能否设计一种多项式时间算法，对 $G(n,p)$ 实现使用至多比最优值多一个颜色的彩虹-$k$-连通着色？
• RQ3 随机图 $G(n,p)$ 的结构如何支持大 $k$ 情况下存在多条内部点不相交的彩虹路径？
• RQ4 阈值 $p = (\log n)^{1/d}/n^{(d-1)/d}$ 是否精确标记了 $rc_k(G(n,p)) > d$ 到 $rc_k(G(n,p)) \leq d$ 的转变？
• RQ5 当 $p$ 高于阈值时，随机对 $G(n,p)$ 进行 $d$ 种颜色着色，得到彩虹-$k$-连通图的概率是多少？

主要发现

• 对于每个固定的 $d \geq 2$ 且 $k \leq O(\log n)$，函数 $p = (\log n)^{1/d}/n^{(d-1)/d}$ 是 $rc_k(G(n,p)) \leq d$ 的精确阈值。
• 该阈值函数推广了已知的 $rc_1(G(n,p)) \leq 2$ 的结果 $p = \sqrt{\log n / n}$ 至更高的 $k$ 和 $d$ 情形。
• 当 $p$ 超过阈值时，以高概率有 $rc_k(G(n,p)) = d$；当 $p$ 低于阈值时，以高概率有 $rc_k(G(n,p)) \geq d-1$，从而验证了阈值的精确性。
• 存在一种多项式时间算法，可对 $G(n,p)$ 进行 $d$ 种颜色着色，使得 $rc_k(G(n,p)) \leq d$ 的概率为 $1 - o(1)$，且使用的颜色数至多比最优值多一个。
• 当 $p = n^{-\epsilon(1 \pm o(1))}$ 且 $\epsilon \in [0,1)$ 时，该算法以高概率实现近乎最优的彩虹-$k$-连通性。
• 当 $p$ 超过阈值时，任意两点间内部点不相交的彩虹路径数量至少为 $2^{10d}c_0 \log n$，以高概率成立。