[论文解读] On self-dual four circulant codes

Minjia Shi, Hongwei Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究有限域上的自偶四循环码，利用循环矩阵的代数结构及 $x^n - 1$ 的因式分解，推导出当 $x^n - 1$ 恰好分解为两个不可约因式时的计数公式。通过应用阿廷原根猜想与基于熵的体积估计，证明了存在无限多组此类码，其相对最小距离 $ abla$ 满足 $H_q( abla) \geq \frac{1}{8}$，从而建立了类似于吉尔伯特-瓦什马诺夫界的新的渐近下界。

ABSTRACT

Four circulant codes form a special class of $2$-generator, index $4$, quasi-cyclic codes. Under some conditions on their generator matrices they can be shown to be self-dual. Artin primitive root conjecture shows the existence of an infinite subclass of these codes satisfying a modified Gilbert-Varshamov bound.

研究动机与目标

• 通过环 $R(n,\mathbb{F}_q) = \mathbb{F}_q[x]/\langle x^n - 1 \rangle$ 分析有限域上自偶四循环码的代数结构。
• 当 $x^n - 1$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上分解为恰好两个不可约多项式时，推导出自偶四循环码的计数公式。
• 建立此类码最小距离的渐近下界，类似于吉尔伯特-瓦什马诺夫界。
• 在数论假设下，研究是否存在无限多组具有优良相对距离的自偶四循环码。

提出的方法

• 将四循环码表示为由两个生成元 $((1,0,a(x),b(x)),(0,1,-b'(x),a'(x)))$ 生成的 $R(n,\mathbb{F}_q)$-子模。
• 当 $x^n - 1$ 的不可约因式较少时，应用中国剩余定理将 $R(n,\mathbb{F}_q)$ 分解为有限域的乘积。
• 利用条件 $AA^T + BB^T + I_n = 0$，通过循环矩阵 $A, B$ 描述自偶四循环码。
• 通过有界模 $x^n - 1$ 的多项式同余方程组解的数量，使用熵体积估计来估算自偶码的数量。
• 利用阿廷原根猜想，确保存在无穷多个素数 $n$，使得 $q$ 是模 $n$ 的原根，从而保证无限多组码的存在。
• 应用 $q$-元熵函数 $H_q(t)$ 估计汉明球体积，并推导出最小距离的渐近下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $x^n - 1$ 关于 $\mathbb{F}_q$ 的因式分解满足何种条件下，可对自偶四循环码进行计数？
• RQ2 能否构造出具有优良相对最小距离的自偶四循环码的无限多组？
• RQ3 阿廷原根猜想如何支持此类码的存在性？
• RQ4 自偶四循环码的最小距离渐近下界如何用 $q$-元熵函数表示？
• RQ5 计数与距离界限能否推广至不可约因式多于两个的情形？

主要发现

• 当 $x^n - 1$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上恰好分解为两个不可约多项式时，利用中国剩余定理分解，推导出自偶四循环码的显式计数公式。
• 在给定因式分解条件下，自偶四循环码的总数渐近为 $O(q^{3n/2})$。
• 包含一个权重约为 $4\delta n$ 的固定向量的此类码的数量，上界为 $O(q^{n(1 + 4H_q(\delta))})$，忽略次指数项。
• 通过比较汉明球体积与自偶码总数，本文证明了存在无限多组自偶四循环码，其相对最小距离 $ abla$ 满足 $H_q( abla) \geq \frac{1}{8}$。
• 该结果依赖于阿廷原根猜想，该猜想确保存在无穷多个素数 $n$，使得 $q$ 是模 $n$ 的原根。
• 最小距离的渐近下界通过截断的随机编码技术与基于熵的体积估计推导得出，从而得到一个类似吉尔伯特-瓦什马诺夫界的全新下界。