[论文解读] On solving a restricted linear congruence using generalized Ramanujan sums

K Vishnu Namboothiri|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过引入广义 gcd 条件 $(x_i, n^s)_s = d_i^s$ 并利用源自 E. Cohen 框架的广义 Ramanujan 和 $c_{r,s}(n)$，推广了以往关于受限线性同余的结果。它为同余式 $x_1 + \cdots + x_k \equiv b \pmod{n^s}$ 的解的数量建立了闭式公式，表达式为 $\frac{1}{n^s}\sum_{d|n} c_{d,s}(b) \prod_{j=1}^{\tau(n)} \left(c_{\frac{n}{d_j},s}(\frac{n^s}{d^s})\right)^{g_j}$，其中 $g_j$ 表示每个广义 gcd 类中变量的数量。

ABSTRACT

Consider the linear congruence equation $x_1+\ldots+x_k \equiv b\,( ext{mod } n)$ for $b,n\in\mathbb{Z}$. By $(a,b)_s$, we mean the largest $l^s\in\mathbb{N}$ which divides $a$ and $b$ simultaneously. For each $d_j|n$, define $\mathcal{C}_{j,s} = \{1\leq x\leq n^s | (x,n^s)_s = d^s_j\}$. Bibak et al. gave a formula using Ramanujan sums for the number of solutions of the above congruence equation with some gcd restrictions on $x_i$. We generalize their result with generalized gcd restrictions on $x_i$ by proving that for the above linear congruence, the number of solutions is $$\frac{1}{n^s}\sum\limits_{d|n}c_{d,s}(b)\prod\limits_{j=1}^{τ(n)}\left(c_{\frac{n}{d_j},s}(\frac{n^s}{d^s}) ight)^{g_j}$$ where $g_j = |\{x_1,\ldots, x_k\}\cap \mathcal{C}_{j,s}|$ for $j=1,\ldots τ(n)$ and $c_{d,s}$ denote the generalized ramanujan sum defined by E. Cohen.

研究动机与目标

• 将先前关于标准 gcd 条件的受限线性同余研究推广至形式为 $(x_i, n^s)_s = d_i^s$ 的广义 gcd 条件。
• 为在这些广义 gcd 约束下 $x_1 + \cdots + x_k \equiv b \pmod{n^s}$ 的解的数量建立统一公式。
• 展示广义 Ramanujan 和 $c_{r,s}(n)$ 在通过有限傅里叶分析求解此类同余式中的有效性。
• 提供一种可为未来非线性同余与算术函数研究提供启示的推广框架。

提出的方法

• 将广义 gcd $(a,b)_s$ 定义为同时整除 $a$ 和 $b$ 的最大 $s$ 次幂，从而扩展标准 gcd。
• 定义广义 Ramanujan 和 $c_{r,s}(n) = \sum_{\substack{j=1 \\ (j,r^s)_s=1}}^{r^s} e\left(\frac{nj}{r^s}\right)$，并利用 Möbius 函数给出其已知的算术表达式。
• 将有限傅里叶变换技术应用于满足广义 gcd 约束的解的特征函数。
• 利用指数和的周期性与正交性，通过在 $d \mid n$ 上求和推导解的数量。
• 将解的数量表示为关于 $d \mid n$ 的加权和，其中包含 $c_{d,s}(b)$ 以及广义 Ramanujan 和的乘积，其指数为 $g_j$（即每个 gcd 类中变量的数量）。
• 通过一个具体例子验证公式：$x_1 + x_2 \equiv 5 \pmod{16}$，其中 $g_1=1, g_2=1, g_3=0$，公式计算得 3 个解，与直接枚举结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 gcd 条件被替换为 $(x_i, n^s)_s = d_i^s$ 时，如何推广受限线性同余 $x_1 + \cdots + x_k \equiv b \pmod{n^s}$ 的解数？
• RQ2 广义 Ramanujan 和 $c_{r,s}(n)$ 是否可有效用于推导此类广义受限同余的闭式解？
• RQ3 有限傅里叶变换在广义 gcd 约束下推导解公式的过程中起什么作用？
• RQ4 当 $s=1$ 时，新公式如何退化为已知结果（例如 Bibak 等 [1] 的结果）？
• RQ5 该框架能否推广至求解非线性同余或其他算术问题？

主要发现

• 满足 $g_j$ 个变量满足 $(x_i, n^s)_s = d_j^s$ 的同余式 $x_1 + \cdots + x_k \equiv b \pmod{n^s}$ 的解数为 $\frac{1}{n^s}\sum_{d|n} c_{d,s}(b) \prod_{j=1}^{\tau(n)} \left(c_{\frac{n}{d_j},s}(\frac{n^s}{d^s})\right)^{g_j}$。
• 当 $s=1$ 时，该公式退化为 Bibak 等 [1] 的已知结果，证实与先前工作的兼容性。
• 对于例子 $n^s = 16$，$b=5$，$k=2$，$g_1=1$，$g_2=1$，$g_3=0$，公式计算得 $48/16 = 3$ 个解，与直接枚举一致。
• 广义 Ramanujan 和 $c_{r,s}(n)$ 满足 $c_{r,s}(n) = \sum_{d|r, d^s|n} \mu(r/d) d^s$，从而可高效计算。
• 推导过程依赖于广义 gcd 函数的 $n^s$-周期性以及指数和的正交性。
• 该方法成功将 Ramanujan 和的使用从经典情形推广，为数论与密码学中的更广泛应用提供了框架。