[论文解读] Congruences involving generalized central trinomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文建立了关于广义中心三项系数 $ T_n(b,c) $ 和广义 Motzkin 数 $ M_n(b,c) $ 的新同余式，证明了某些模素数幂的加权和展现出与 Legendre 符号和二次剩余紧密相关的深刻算术结构。主要贡献是模 $ p $ 和 $ p^2 $ 的一组精确同余式，扩展了经典中心三项系数和 Motzkin 数的结果，包含显式公式，涉及 $  binom{2k}{k} $、调和数和 Legendre 符号。

ABSTRACT

For integers $b$ and $c$ the generalized central trinomial coefficient $T_n(b,c)$ denotes the coefficient of $x^n$ in the expansion of $(x^2+bx+c)^n$. Those $T_n=T_n(1,1)\ (n=0,1,2,\ldots)$ are the usual central trinomial coefficients, and $T_n(3,2)$ coincides with the Delannoy number $D_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k$ in combinatorics. We investigate congruences involving generalized central trinomial coefficients systematically. Here are some typical results: For each $n=1,2,3,\ldots$ we have $$\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)T_k(b,c)^2(b^2-4c)^{n-1-k}\equiv0\pmod{n^2}$$ and in particular $n^2\mid\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)D_k^2$; if $p$ is an odd prime then $$\sum_{k=0}^{p-1}T_k^2\equiv\left(\frac{-1}p ight)\ \pmod{p}\ \ \ { m and}\ \ \ \sum_{k=0}^{p-1}D_k^2\equiv\left(\frac 2p ight)\ \pmod{p},$$ where $(-)$ denotes the Legendre symbol. We also raise several conjectures some of which involve parameters in the representations of primes by certain binary quadratic forms.

研究动机与目标

• 研究广义中心三项系数 $ T_n(b,c) $ 和广义 Motzkin 数 $ M_n(b,c) $ 的算术性质，扩展经典中心三项系数和 Motzkin 数的结果。
• 为涉及 $ T_n(b,c) $、$ M_n(b,c) $ 及其乘积的和建立模 $ p $ 和 $ p^2 $ 的新同余式，权重涉及 $ d = b^2 - 4c $ 和 $ m $-次幂。
• 通过引入参数 $ b, c $ 推广已知的中心三项系数和 Motzkin 数结果，并探索其与 Legendre 多项式及 Delannoy 数的联系。
• 基于 $ p $-进赋值中观察到的模式，提出关于模 $ p^3 $、$ p^4 $ 以及带线性权重的和的高阶同余式的猜想。
• 通过引入使用生成函数和超几何恒等式的参数化框架，统一并扩展先前关于中心三项系数和 Motzkin 数同余式的研究。

提出的方法

• 推导 $ T_n(b,c) $ 和 $ M_n(b,c) $ 的生成函数，显示 $ T_n(b,c) $ 的生成函数为 $ rac{1}{insqrt{1 - 2bx + dx^2}} $，$ M_n(b,c) $ 的生成函数为相关代数表达式，其中 $ d = b^2 - 4c $。
• 使用 Zeilberger 算法推导 $ M_n(b,c) $ 的递推关系，并利用已知的 $ T_n(b,c) $ 递推关系分析其 $ p $-进性质。
• 应用 Legendre 符号 $ ig(rac{a}{p}ig) $ 来刻画模 $ p $ 的同余式，特别是在涉及 $ rac{T_k(b,c)}{m^k} $ 和 $ rac{M_k(b,c)}{m^k} $ 的和中。
• 利用恒等式 $ T_n(b,c) = ( ext{判别式})^{n/2} P_n(b/ ext{判别式}) $ 将 $ T_n(b,c) $ 与 Legendre 多项式 $ P_n(x) $ 关联，从而实现模 $ p $ 下的和的计算。
• 运用超几何和的理论及 $ p $-进分析推导模 $ p^2 $ 的同余式，特别是针对 $ rac{T_k^2}{d^k} $、$ rac{T_k M_k}{d^k} $ 和加权和。
• 基于数值模式和已知恒等式提出猜想，特别针对涉及 $ T_n(b,c)^3 $、$ T_n(b,c)^2 M_n(b,c) $ 和线性权重 $ (ak+b) $ 的和，模数为 $ p^2 $、$ p^3 $ 和 $ p^4 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 模 $ p $ 下，$ rac{T_k(b,c)}{m^k} $ 的同余性质是什么？其与 Legendre 符号 $ ig(rac{(m-b)^2 - 4c}{p}ig) $ 的关系如何？
• RQ2 模 $ p $ 下，$ rac{M_k(b,c)}{m^k} $ 的和如何表现？判别式 $ (m-b)^2 - 4c $ 在其结构中起什么作用？
• RQ3 模 $ p $ 下，$ rac{T_k(b,c)^2}{d^k} $ 的值是什么？其与 Legendre 符号 $ ig(rac{cd}{p}ig) $ 的关系如何？
• RQ4 在 $ b, c, d $ 满足某些条件时，是否可证明 $ rac{T_k(b,c)M_k(b,c)}{d^k} mod p $ 恒为零？
• RQ5 对于 $ rac{T_k(b,c)^3}{(b-2c)^{3k}} mod p^2 $，会涌现出何种高阶同余式？其如何依赖于素数在二次型中的分裂性质？

主要发现

• 对任意奇素数 $ p $，$ T_k(b,c) $ 的 $ m^{-k} $-加权和模 $ p $ 满足 $ extstyleig(rac{(m-b)^2 - 4c}{p}ig) $，与二次剩余相关联。
• 模 $ p $ 下，$ M_k(b,c) $ 的 $ m^{-k} $-加权和同余于 $ (m-b)^2 - ((m-b)^2 - 4c)ig(rac{(m-b)^2 - 4c}{p}ig) $，并乘以 $ 2c $。
• 若 $ d ot o 0 mod p $，则 $ extstylerac{T_k(b,c)^2}{d^k} mod p $ 同余于 $ ig(rac{cd}{p}ig) $。
• 若 $ b ot o 2c mod p $，则 $ extstylerac{T_k(b,c^2)^2}{(b-2c)^{2k}} mod p $ 同余于 $ ig(rac{-c^2}{p}ig) $。
• 若 $ p mid c $ 且 $ d ot o 0 mod p $，则 $ extstylerac{T_k(b,c)M_k(b,c)}{d^k} mod p $ 恒为零，表明存在深刻的算术相消。
• 若 $ D = b^2 - 4c^2 ot o 0 mod p $，则 $ extstylerac{T_k(b,c^2)M_k(b,c^2)}{(b-2c)^{2k}} mod p $ 同余于 $ rac{4b}{b+2c} ig(rac{D}{p}ig) $。