[论文解读] On some multicolour Ramsey properties of random graphs

Andrzej Dudek, Paweł Prałat|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 22被引用 6

一句话总结

该论文改进了随机图中路径的多色大小-Ramsey数的界限，表明当 $ r ≥ 2 $ 时，对于满足 $ pn \to \infty $ 的随机图 $ \mathcal{G}(n,p) $，几乎必然在任意 $ r $-色边染色下包含一条长度为 $ (1/r - \alpha)n $ 的单色路径，以及大小为 $ (1/(r-1) - \alpha)n $ 的单色连通分量。论文建立了路径大小-Ramsey数的更紧上界与下界，将上界降低至 $ 74n $，并证明了下界为 $ 5n/2 - O(1) $。这些结果在 $ \alpha $ 项意义下是最优的，并将已知的极值结果推广至稀疏随机图。

ABSTRACT

The size-Ramsey number $\hat{R}(F)$ of a graph $F$ is the smallest integer $m$ such that there exists a graph $G$ on $m$ edges with the property that any colouring of the edges of $G$ with two colours yields a monochromatic copy of $F$. In this paper, first we focus on the size-Ramsey number of a path $P_n$ on $n$ vertices. In particular, we show that $5n/2-15/2 \le \hat{R}(P_n) \le 74n$ for $n$ sufficiently large. (The upper bound uses expansion properties of random $d$-regular graphs.) This improves the previous lower bound, $\hat{R}(P_n) \ge (1+\sqrt{2})n-O(1)$, due to Bollobás, and the upper bound, $\hat{R}(P_n) \le 91n$, due to Letzter. Next we study long monochromatic paths in edge-coloured random graph $G(n,p)$ with $pn o \infty$. Let $α> 0$ be an arbitrarily small constant. Recently, Letzter showed that a.a.s.\ any $2$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic path of length $(2/3-α)n$, which is optimal. Extending this result, we show that a.a.s.\ any $3$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic path of length $(1/2-α)n$, which is also optimal. In general, we prove that for $r\ge 4$ a.a.s.\ any $r$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic path of length $(1/r-α)n$. We also consider a related problem and show that for any $r \ge 2$, a.a.s.\ any $r$-edge colouring of $G(n,p)$ yields a monochromatic connected subgraph on $(1/(r-1)-α)n$ vertices, which is also tight.

研究动机与目标

• 改进路径在双色边染色下大小-Ramsey数 $ \hat{R}(P_n) $ 的上下界。
• 将关于完全图中单色路径与连通分量的已知结果推广至满足 $ pn \to \infty $ 的稀疏随机图 $ \mathcal{G}(n,p) $。
• 确定 $ r $-边染色随机图中单色路径与连通分量的最优长度，证明界限的紧致性。

提出的方法

• 利用极值图论与连通分量大小论证，证明一般下界 $ \hat{R}(P_n, r) $，得到双色情形下 $ \hat{R}(P_n) \geq 5n/2 - O(1) $。
• 利用随机 $ d $-正则图的扩展性质，构造一个边数为 $ O(n) $ 的图，强制出现单色 $ P_n $，从而得出上界 $ \hat{R}(P_n) \leq 74n $。
• 将 Letzter 的双色方法推广至三色及以上情形，结合概率与极值论证，证明当 $ pn \to \infty $ 时，几乎必然有 $ \mathcal{G}(n,p) \to (P_{(1/r - \alpha)n})_r $。
• 应用二部连通分量引理（引理 5.5）以界定稀疏图中最大单色连通分量的大小，证明 $ (1/(r-1) - \alpha)n $ 为最优。
• 通过 $ \mathcal{G}(n,p) $ 与 $ \mathcal{G}_{n,d} $ 之间的耦合论证，将结果推广至 $ d \gg \log n $ 的 $ d $-正则模型。
• 利用完全图中的已知结果（例如 $ K_n \to P_{(2/3+o(1))n} $），并通过概率与极值技术将其推广至随机图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机图的双色边染色中，路径大小-Ramsey数 $ \hat{R}(P_n) $ 的最佳可能上界是什么？
• RQ2 在 $ r $-色 $ \mathcal{G}(n,p) $ 中，单色路径的长度能否优于 $ (1/r - \alpha)n $，且该界限是否紧致？
• RQ3 在 $ r $-色 $ \mathcal{G}(n,p) $ 中，最大单色连通分量的大小与 $ K_n $ 中相比如何？界限 $ (1/(r-1) - \alpha)n $ 是否最优？
• RQ4 大小-Ramsey数 $ \hat{R}(P_n, r) $ 是指数级还是多项式级增长？其渐近增长形式如何？
• RQ5 能否将 $ \mathcal{G}(n,p) $ 的结果推广至 $ d = \Omega(\log n) $ 的 $ d $-正则随机图模型 $ \mathcal{G}_{n,d} $ ？

主要发现

• 对于足够大的 $ n $，路径 $ P_n $ 的大小-Ramsey数满足 $ \hat{R}(P_n) \leq 74n $，优于此前的上界 $ 91n $。
• 建立了新的下界 $ \hat{R}(P_n) \geq 5n/2 - O(1) $，优于 Bollobás 的 $ (1+\sqrt{2})n - O(1) $。
• 对于任意 $ r \geq 2 $，几乎必然地，任意满足 $ pn \to \infty $ 的 $ \mathcal{G}(n,p) $ 的 $ r $-边染色中均包含一条长度为 $ (1/r - \alpha)n $ 的单色路径，且该长度为最优。
• 对于任意 $ r \geq 2 $，几乎必然地，任意满足 $ pn \to \infty $ 的 $ \mathcal{G}(n,p) $ 的 $ r $-边染色中均包含一个大小为 $ (1/(r-1) - \alpha)n $ 的单色连通子图，且该界限亦为最优。
• 由于与 $ \mathcal{G}(n,p) $ 的耦合关系，结果可推广至 $ d \gg \log n $ 的 $ d $-正则随机图模型 $ \mathcal{G}_{n,d} $。
• 对于 $ r \geq 4 $，使得 $ \mathcal{G}(n,p) \to (P_{c_r n})_r $ 的最优常数 $ c_r $ 的精确值仍未知，尽管已知 $ 1/r \leq c_r \leq 1/(r-1) $。