[论文解读] On symplectic fillings of spinal open book decompositions I: Geometric constructions

Samuel Lisi, Jeremy Van Horn-Morris+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 14

一句话总结

本文引入了脊椎开书分解作为接触拓扑中支撑开书的推广，从而实现了一种新的辛钴 bordism 构造——脊椎移除手术。通过全纯曲线技术和辛球面障碍，证明了某些具有部分平面区域的接触流形无法进行弱或强辛填充。

ABSTRACT

A spinal open book decomposition on a contact manifold is a generalization of a supporting open book which exists naturally e.g. on the boundary of a symplectic filling with a Lefschetz fibration over any compact oriented surface with boundary. In this first paper of a two-part series, we introduce the basic notions relating spinal open books to contact structures and symplectic or Stein structures on Lefschetz fibrations, leading to the definition of a new symplectic cobordism construction called spine removal surgery, which generalizes previous constructions due to Eliashberg, Gay-Stipsicz and the third author. As an application, spine removal yields a large class of new examples of contact manifolds that are not strongly (and sometimes not weakly) symplectically fillable. This paper also lays the geometric groundwork for a theorem to be proved in part II, where holomorphic curves are used to classify the symplectic and Stein fillings of contact 3-manifolds admitting a spinal open book with a planar page.

研究动机与目标

• 将接触结构与辛填充之间的经典对应关系从平面开书推广至更一般的李普希茨纤维化，通过引入脊椎开书分解。
• 定义一种新的辛钴 bordism 构造——脊椎移除手术，其推广了 Eliashberg、Gay-Stipsicz 和 Wendl 的先前帽构造。
• 为分类承认具有平面页的脊椎开书的 3-流形的辛填充和斯坦填充提供几何基础，该工作在第二部分中完成。
• 通过辛球面障碍证明，某些具有部分平面区域的接触流形无法进行弱或强辛填充。
• 通过全纯曲线分析，提供一个框架以证明平面接触 3-流形的弱填充、强填充、李维勒填充和斯坦填充之间的等价性。

提出的方法

• 将脊椎开书分解定义为将 3-流形分解为脊椎（纤维化于曲面的 S¹-丛）和纸页（纤维化于圆的 S¹-丛），其中纸页纤维的边界附着于脊椎。
• 通过利乌维勒形式和角点光滑化，构建具有角点的辛邻域邻域的几何构造，以建模脊椎和纸页附近的辛结构。
• 应用修改后的 Thurston 技巧，构造相容的几乎复结构，并在 Lefschetz 临界点附近扰动 J，以实现几乎斯坦结构。
• 通过从辛 Lefschetz 纤维化中移除脊椎，构造脊椎移除钴 bordism，从而在接触流形之间产生新的辛钴 bordism。
• 使用全纯曲线技术——特别是指标为 2 的弗雷德霍姆正则 J-全纯球面及交点的正性——推导出填充性的障碍。
• 应用引理 5.2 表明，在非紧填充中，若存在不相交的、具有零自交数且不同辛面积的辛嵌入球面，则导致矛盾，从而推出非填充性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将支撑开书与辛填充之间的经典对应关系推广至非圆盘底面的李普希茨纤维化？
• RQ2 从具有边界的曲面上的李普希茨纤维化的边界结构中，自然会产生何种新的辛钴 bordism 构造？
• RQ3 在何种条件下，具有部分平面脊椎开书的接触 3-流形无法接受弱或强辛填充？
• RQ4 能否利用具有零自交数但辛面积不同的辛嵌入球面的存在性来阻碍辛填充性？
• RQ5 全纯曲线不变量（如弗雷德霍姆指标和交点正性）如何约束脊椎开书流形的辛填充的拓扑结构？

主要发现

• 脊椎移除手术被定义为一种新的辛钴 bordism 构造，其推广了 Eliashberg 的帽构造，并适用于脊椎开书。
• 本文证明：若一个接触 3-流形包含一个部分平面区域，且在脊椎上具有精确的弱填充，则该流形等于该区域，其填充由底面曲面上的李普希茨纤维化分类。
• 具有非对称部分平面区域的接触流形（例如具有非平面页或非对称边界分量的）被证明无法进行弱或强辛填充。
• 在非紧辛填充中，若存在具有零自交数但不同辛面积的辛嵌入球面，则导致矛盾，从而推出非填充性。
• 通过迭代脊椎移除钴 bordism 构造非紧辛填充，使得全纯曲线技术可被应用于推导出障碍结果。
• 引理 5.2 证明：在边界携带正接触结构的紧致辛 4-流形中，任意两个具有零自交数且无孤立交点的辛嵌入曲面必须具有相等的辛面积，从而提供一个关键的障碍工具。