[论文解读] On tangent cones and parallel transport in Wasserstein space

John Lott|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文计算了在紧致黎曼流形 M 的子流形 S 上具有绝对连续测度 μ 的 Wasserstein 空间 P(M) 的切锥。它提出了一种在 P(M) 中测地线上传输切锥的几何构造，并在光滑性条件成立时，证明其与先前的形式计算一致。

ABSTRACT

If M is a smooth compact Riemannian manifold, let P(M) denote the Wasserstein space of probability measures on M. If S is an embedded submanifold of M, and mu is an absolutely continuous measure on S, we compute the tangent cone of P(M) at mu. We describe a geometric construction of parallel transport of tangent cones along certain geodesics in P(M). We show that when everything is smooth, the geometric parallel transport agrees with earlier formal calculations.

研究动机与目标

• 表征在紧致黎曼流形 M 的子流形 S 上的测度 μ 处，Wasserstein 空间 P(M) 的切锥。
• 在 Wasserstein 空间 P(M) 中，为沿测地线的切锥平行传输发展一种几何构造。
• 在光滑设定下，建立该几何构造与早期形式计算之间的一致性。
• 扩展对非光滑度量测度空间中几何结构的理解。

提出的方法

• 利用紧致黎曼流形 M 上 Wasserstein 空间 P(M) 的结构。
• 应用微分几何技术，分析当 μ ∈ P(M) 在嵌入子流形 S 上绝对连续时，μ 处的切锥。
• 通过在 P(M) 中测地线上传输向量场的几何提升，构造平行传输。
• 依赖于在光滑情况下将切向量识别为最优传输映射。
• 将几何构造与先前文献中的形式计算进行比较。
• 通过内在几何论证，在光滑性假设下验证其等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致黎曼流形 M 的子流形 S 上的测度 μ 处，Wasserstein 空间 P(M) 的切锥具有何种结构？
• RQ2 在 Wasserstein 空间 P(M) 中，如何几何地定义切锥的平行传输？
• RQ3 所提出的平行传输几何构造是否与光滑设定下早期的形式计算一致？
• RQ4 M 的黎曼结构在决定 P(M) 中切锥的几何结构方面起什么作用？

主要发现

• P(M) 在 μ 处的切锥被表征为关于 μ 的 L²-可积的 S 上的向量场空间。
• 在由光滑位移插值诱导的测地线上，P(M) 中的几何平行传输构造是良定义的。
• 当所有结构均为光滑时，该几何平行传输构造与文献中的形式计算一致。
• 该构造揭示了最优传输几何与 M 上黎曼结构之间的自然相容性。
• 该构造通过几何提升，将切锥与平行传输概念的应用范围扩展至 P(M) 中的非光滑点。
• 该框架为在非光滑情形下 Wasserstein 空间中的微分几何提供了严格的理论基础。