[论文解读] On the 2-part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for quadratic twists of elliptic curves

Li Cai, Chao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明了存在无限多组有理椭圆曲线的二次扭量，其解析秩为0，并证明了这些扭量的Birch和Swinnerton-Dyer猜想的2部分。通过使用模符号和一种新颖的整性论证，分析2-adic估值的代数L值，作者证明了这些扭量的Tate–Shafarevich群的2-主分量是平凡的，从而为Xin Wan后续证明无穷多组非CM椭圆曲线的完整Birch–Swinnerton-Dyer猜想奠定了基础。

ABSTRACT

In the present paper, we prove, for a large class of elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$, the existence of an explicit infinite family of quadratic twists with analytic rank $0$. In addition, we establish the $2$-part of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for many of these infinite families of quadratic twists. Recently, Xin Wan has used our results to prove for the first time the full Birch--Swinnerton-Dyer conjecture for some explicit infinite families of elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$ without complex multiplication.

研究动机与目标

• 构造有理椭圆曲线在 $ \bbQ $ 上的显式无限家族的二次扭量，其解析秩为0。
• 为这些扭量建立Birch和Swinnerton-Dyer猜想的2部分，特别是当Tate–Shafarevich群的2-主分量为平凡时。
• 通过使用经典模符号方法而非深层p-adic技术，克服Iwasawa理论在 $ p=2 $ 时的技术障碍。
• 将先前关于素数扭量的结果推广至复合判别式，扩展了以往基于归纳法的论证范围。
• 为后续Xin Wan证明无穷多组非CM椭圆曲线的完整Birch–Swinnerton-Dyer猜想提供基础输入。

提出的方法

• 使用模符号理论计算有理最优椭圆曲线 $ E $ 的二次扭量 $ E^{(M)} $ 的代数L值 $ L^{(alg)}(E^{(M)},1) $ 的2-adic估值。
• 定义一组素数 $ \fS $，满足 $ q \neq 2 $，$ q \to 1 \bmod 4 $，$ q \nmid C $，且 $ \text{ord}_2(N_q) = 1 $，以确保在2-分害域中具有合适的分裂行为。
• 应用一种新的整性论证，使归纳法在复合判别式 $ M = q_1 \times \times q_r $ 上成立，克服了在存在有理2-挠点时经典归纳法的失效问题。
• 利用 $ E(\bbQ)[2] \to \bbZ/2\bbZ $ 和 $ \text{ord}_2(L^{(alg)}(E,1)) = -1 $ 的事实，推导出当 $ M $ 是来自 $ \fS $ 的 $ r $ 个不同素数的无平方积时，有 $ \text{ord}_2(L^{(alg)}(E^{(M)},1)) = r - 1 $。
• 通过验证 $ \text{ord}_2(\text{regulator}) = 0 $ 和 $ \text{ord}_2(\text{Tamagawa product}) = r $，证明了BSD公式中2部分的成立，因此代数L值的2-adic估值与预期的2部分一致。
• 利用 $ r_{\text{an}} = 0 $ 意味着 $ E^{(M)}(\bbQ) $ 和 $ \text{Sha}(E^{(M)}) $ 有限的性质，结合Gross–Zagier和Kolyvagin定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出有理椭圆曲线的无限家族的二次扭量，使其解析秩为0？
• RQ2 对于此类扭量，Birch–Swinnerton-Dyer猜想的2部分是否成立，特别是代数L值的2-adic估值是否满足条件？
• RQ3 当曲线具有有理2-挠点时，能否将素数扭量结果中使用的归纳法推广至复合判别式？
• RQ4 能否使用经典模符号技术绕过Iwasawa理论在 $ p=2 $ 时的标准方法失效的限制？
• RQ5 能否将这些结果与深层的Iwasawa理论工具结合，证明无穷多组非CM椭圆曲线的完整Birch–Swinnerton-Dyer猜想？

主要发现

• 对于一大类具有 $ E(\bbQ)[2] \to \bbZ/2\bbZ $，$ \text{ord}_2(L^{(alg)}(E,1)) = -1 $，且奇数Manin常数的最优椭圆曲线 $ E $，本文构造了一个无限家族的二次扭量 $ E^{(M)} $，其中 $ M $ 是来自 $ \fS $ 的 $ r $ 个不同素数的乘积。
• 对于此类扭量，有 $ \text{ord}_2(L^{(alg)}(E^{(M)},1)) = r - 1 $，且 $ L(E^{(M)},1) \neq 0 $，因此解析秩为0。
• 由此可得，由Gross–Zagier和Kolyvagin定理，$ E^{(M)}(\bbQ) $ 和 $ \text{Sha}(E^{(M)}) $ 均为有限。
• 这些扭量的Birch–Swinnerton-Dyer公式中2部分成立，因为代数L值的2-adic估值与调节子、Tamagawa因子和Sha的2-adic估值之和一致。
• 给出了显式例子：对于 $ A = 34A1 $，$ 56B1 $，$ 99C1 $，和 $ 46A1 $，满足 $ q \to 1 \bmod 4 $ 且在 $ \bbQ(A[2]) $ 与 $ \bbQ(A'[2]) $ 中均惰性的素数集合 $ \fS $ 是无限的；当 $ M $ 是 $ r $ 个此类素数的乘积时，有 $ \text{ord}_2(L^{(alg)}(A^{(M)},1)) = r - 1 $。
• 这些结果被Xin Wan用于证明无穷多组非CM椭圆曲线在 $ \bbQ $ 上的完整Birch–Swinnerton-Dyer猜想，这是首次针对此类家族实现该证明。